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Wir beginnen mit einer kleinen Wiederholung: |
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Die thermische Energie bei Raumtemperatur (kBT)RT
ist im Mittel
1/40 eV. Das heißt aber auch, daß sie hin und wieder lokal viel höher
sein wird. Insbesondere wird sie gelegentlich hoch genug sein, um ein Elektron aus dem Valenzband des Si über
die Energielücke von 1,12 eV ins Leitungsband zu heben. Dort hat's genügend freie Plätze; ein Elektron
darf da hin! |
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Wie man sich das mit realen Atomen so vorstellen kann, ist im Link
gezeigt. |
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Wir ventilieren jetzt ganz offenbar die Frage, wieviele der Plätze
(= Zustände) im Leitungsband bei der Temperatur T besetzt
sind. Die Antwort darauf gibt immer dieselbe Fundamentalformel: |
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Dichte der Elektronen bei Energie E =
Zahl der vorhandenen
Plätze (= Zustandsdichte D(E))
mal Wahrscheinlichkeit der Besetzung
(= f(E): Wert der Fermiverteilung bei E).
Gesamtzahl durch Aufsummieren = Integrieren. |
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Weil die Zustandsdichte jedes Materials nahezu unveränderlich ist, ergibt sich die tatsächliche
Besetzung der Plätze aus der Fermiverteilung. Also machen wir erst mal eine kurze Wiederholung der Eigenschaften von
f(E); was folgt, muß jetzt im Schlaf beherrscht werden! |
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Der Einfachheit halber werden wir mit effektiver Zustandsdichte
und Boltzmann-Näherung arbeiten. Wie kommen wir dazu? Für die Dichte der Elektronen
im Leitungsband haben wir: |
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| neL | = |
¥
ó
õ
EL |
D(E) · |
f(E; EF, T) · dE |
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Für Puristen: Wir dürfen bis ¥
integrieren, da die Fermiverteilung bei großen Energien sowieso alles auf null setzt. Das sieht man ganz gut in dem
folgenden Bildchen: |
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Für alle: Man tut gut daran, sich die Zeit zu nehmen, um dieses Bildchen gut zu durchdenken
und wirklich gut zu verstehen – und zwar bezüglich seiner Aussage, wie nL rechnerisch
zustandekommt. |
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Wir machen uns das Leben einfach und benutzen zwei Näherungen:
- Die Boltzmann-Näherung
f(E; EF, T) » exp[–(E –
EF)/(kBT)]. Das ist eine gute Näherung, solange die Fermienergie einige
kBT unter der betrachteten Energie E liegt.
- Die Näherung der effektiven Zustandsdichte. Das ist eine gute Näherung,
solange die Fermienergie einige kBT unter der betrachteten Energie E liegt –
s.o. Wir ersetzen das Integral dann durch die simple Formel:
| neL » |
NeffL · exp[–(EL –
EF)/(kBT)] |
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Für die 2. Näherung benutzen wir schlicht die Tatsache, daß ein
bestimmtes Integral letztlich eine Zahl ist, und die kann man unter den gegebenen
Umständen auch wie gezeigt schreiben. |
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Anders ausgedrückt: Die letzte Gleichung definiert
die effektive Zustandsdichte NeffL. |
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Damit müssen wir jetzt als neuen (und einfacheren) Materialparameter die
effektiven Zustandsdichten
NeffL, V für die verschiedenen Halbleiter bestimmen – getrennt für Leitungs-
und Valenzband; statt der Funktion D(E) nur noch eine Zahl. |
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Das tun wir durch Nachschauen in der Literatur. Hier sind die wichtigsten effektiven Zustandsdichten; für Si auch noch mit der (immer vorhandenen)
Temperaturabhängigkeit: |
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| Halbleiter |
Effektive Zustandsdichte
(in 1018 cm–3) |
| Leitungsband |
Valenzband |
| Silizium (Si) | 24 | 15 |
| Germanium (Ge) | 10 | 6 |
| Galliumarsenid (GaAs) | 0,5 |
7 | | Galliumnitrid (GaN) |
0,5 | 3 |
| T / K | 100 |
200 | 300 |
500 | 1000 |
Silizium: Neff(T)
(in 1018 cm–3) |
4,59 | 13,0 | 23,9 | 51,3 | 145 |
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Wir nehmen zur Kenntnis, daß die effektiven Zustandsdichten im Leitungs- und Valenzband
etwas verschieden sind, werden aber, um die Dinge einfach zu halten, diese Unterschiede in Zukunft ignorieren. |
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Wir nehmen auch noch gerade so zur Kenntnis, daß man, je nachdem, wo man nachschaut,
etwas verschiedene Zahlen findet. Ab und zu wird die Zustandsdichte auch noch mal mit verbesserten Methoden nachgemessen;
wenn man es genau wissen will, kommt man also nicht darum herum, erst mal die neueste wissenschaftliche Literatur zu konsultieren. |
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Wir fassen zusammen: Für die Dichte der Elektronen im Leitungsband haben
wir folgenden formelmäßigen Ausdruck:
| neL » |
NeffL |
· exp(– |
EL – EF
kBT |
) |
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Schön – aber was bedeutet das, ganz praktisch gesehen? |
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Das bedeutet vor allem, daß die Dichte der Elektronen im Leitungsband mindestens exponentiell mit der Temperatur ansteigt. In einem Arrhenius-Diagramm,
das wir für solche Funktionen grundsätzlich nehmen (auch wenn der Vorfaktor Neff noch
temperaturabhängig ist), sieht das wie unten gezeigt aus. |
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Dabei ist eine noch bessere Näherung aufgetragen, bei der die rechnerische Temperaturabhängigkeit der eff. Zustandsdichte in
der Form Neff = Neff* · T3/2 berücksichtigt
ist. Warum in den Boltzmannfaktoren der Gleichungen in der Graphik die Energie der halben Bandlücke steht, wird sich
uns gleich noch erschließen. |
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Das können wir nachrechnen – wir brauchen dazu nur die effektive Zustandsdichte
Neff und die Fermienergie EF. |
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Kein Problem. Für Neff haben wir Zahlen (siehe oben), und daß die Fermienergie in der in der Mitte der Bandlücke liegt, schauen wir
uns gleich noch genauer an (und werden uns dem auch in einer Übungsaufgabe widmen). |
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Bei Raumtemperatur haben wir damit immerhin neL = 2,4
· 1019 cm–3 · exp[–1,12 eV/(2 · 0,025 eV)] = 6,6 · 109
cm–3 bewegliche Elektronen im Leitungsband (wir wissen selbstverständlich: Bandlücke von
Si = 1,12 eV; (kBT)RT = 1/40 eV; atomare Dichte = 5
· 1022 cm–3). Die Kurve ist oben gezeigt, sie liegt vor allem bei RT relativ
zu der besseren Näherung nicht so schlecht. |
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Damit können wir uns erste Gedanken über die spezif. Leitfähigkeit
s = e · neL · me
der Elektronen im Leitungsband machen. |
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Fragt sich nur, was die Elektronen im Valenzband jetzt
tun. Es ist ja nicht mehr voll gefüllt und damit
"isolierend", denn wir haben dort jetzt genauso viele freie Plätze, wie wir Elektronen im Leitungsband haben. |
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Aha! Alles klar? Falls wir die Leitfähigkeit eines
Stücks Si wissen wollen, müssen wir auch die Leitfähigkeit im Valenzband
betrachten! |
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Löcher und
die spezifische Leitfähigkeit des Valenzbandes |
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Ein voll besetztes Valenzband hat die Leitfähigkeit
null. So viel ist sicher. |
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Das Valenzband ist aber nicht mehr voll besetzt, falls Elektronen im Leitungsband sitzen.
Für jedes Elektron im Leitungsband fehlt eines im Valenzband; wir haben die freien Plätze bereits früher Löcher genannt. |
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Das bedeutet jetzt aber, daß für jedes Elektron im Leitungsband jetzt auch genau
ein Elektron im Valenzband seinen Zustand ändern kann, indem es in ein benachbartes Loch "springt". |
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Wir werden den "Löchern" noch oft begegnen und uns an sie gewöhnen,
hier nehmen wir einfach zur Kenntnis, daß es auch im Valenzband
freie Ladungsträger gibt, die auf äußere Kräfte reagieren können. |
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Ob wir diese Ladungsträger "negativ
geladene Elektronen, die in ein Loch hüpfen können" nennen oder "positiv
geladene Löcher", ist Geschmackssache. |
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Da Geschmäcker verschieden sind, gibt es auch Leute, die zu Löchern Defektelektronen
sagen. |
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Wir werden uns in den Formeln an der englischen Bezeichnung "holes" orientieren
und den Index "h" verwenden (das vermeidet auch jegliche Konfusion mit der Bedeutung "L = Leitungsband"). |
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Ob wir dann sagen, daß sich unter dem Einfluß eines elektrischen Feldes eine ganze Kaskade
von Elektronen bewegt, also ein ganzes irgendwie korreliertes Ensemble von (negativ geladenen) Elektronen, die via Löcher
zum Pluspol laufen, oder individuelle positiv geladene Löcher zum Minuspol, ist
ebenfalls Geschmackssache. |
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In vornehmen Kreisen ist unbestritten, daß guter Geschmack die unauffällige
Eleganz präferiert, das scheinbar Einfache. Das sind hier ganz klar die Löcher. Wir werden also ab sofort folgende
Aussage verinnerlichen und anwenden: |
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Die freien Plätze im Valenzband heißen Löcher.
Löcher benehmen
sich im Valenzband
für alle praktischen Zwecke wie
positiv geladene Elektronen. |
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Damit ist klar: Die Leitfähigkeit des Valenzbandes sV ist in intrinsischen Halbleitern ungefähr gleich groß wie sL,
die Leitfähigkeit im Leitungsband. Die gesamte Leitfähigkeit s des intrinsischen Halbleiterkristalls wird damit |
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| s = se + sh =
e · me· ne + e · mh·
nh » 2sL |
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Nochmal: Obwohl sie so heißen, als ob dort etwas nicht ist, darf man ein
Loch als eine Art positiv geladenes Elektron betrachten. (Aber Vorsicht – das macht Löcher nicht zu Positronen!) |
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In voller Schönheit betrachtet, sind Löcher keine "echten" Teilchen, sondern
Quasiteilchen: Ein Quasiteilchen ist ein kollektiver Anregungszustand
in einem System aus vielen, miteinander wechselwirkenden Teilchen; im Fall der Löcher sind das die Elektronen im Valenzband.
(Das ist übrigens der tiefere Grund, warum es Löcher nur im Valenzband gibt!) |
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Aber: Während Elektronen, wenn sie können,
energetisch tiefer sinken, steigen Löcher auf – wie Luftblasen im Wasser! |
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Dichte der Löcher im Valenzband |
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Nachdem wir jetzt die Dichte der Elektronen im Leitungsband kennen, geht es nun
um die Frage, wie groß nh ist, die Dichte der Löcher im Valenzband. |
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Die Antwort ist natürlich sehr einfach: Genauso groß wie die Dichte
der Elektronen im Leitungsband, denn für jedes Elektron im Leitungsband ist ja genau ein Loch im Valenzband entstanden. |
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Nun stellen wir uns aber kurz mal unwissend und fragen, wie man nV
ausrechnen würde, falls man nL nicht schon kennt. Die
Antwort lautet natürlich so: |
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Dichte der Löcher
bei Energie E =
Zahl der vorhandenen Plätze (= Zustandsdichte
D(E))
mal Wahrscheinlichkeit der Nichtbesetzung
(= 1 – f( E)).
Gesamtzahl durch Aufsummieren = Integrieren. |
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In Formeln analog zu denen der Elektronen erhalten wir: |
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| nh | = | EV
ó
õ
–¥ |
D(E) · [1 – f(E;EF, T)] · dE |
| | | | | | |
| » | |
Neff · exp ( – |
EF– EV
kBT | ) |
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Damit haben wir relativ einfache (Näherungs-)Formeln für die beiden
Ladungsträgerdichten. |
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Allerdings müssen wir, um Zahlenwerte zu erhalten, noch den Wert der Fermienergie EF
bestimmen. |
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Massenwirkungsgesetz und Lage der Fermienergie |
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Für die bisher betrachteten perfekten
Halbleiterkristalle stammen alle Elektronen des Leitungsband aus dem Valenzband. Für
diese perfekten Halbleiter, die wir ab jetzt intrinsische Halbleiter nennen wollen, gilt also:
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Die offenbar materialspezifische Ladungsträgerdichte
ni nennen wir die intrinsische Ladungsträgerdichte. |
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Intrinsische Ladungsträgerdichten sind temperaturabhängige Materialparameter;
hier sind mal ein paar (im Zweifel gemessene) Werte für Raumtemperatur (RT): |
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| Halbleiter |
Ge |
Si |
GaAs |
GaP |
C (Diamant) |
| Energielücke (in eV) | 0,661 | 1,12 | 1,424 |
2,26 | »5,5 |
| ni(RT) (in cm–3) | 2 · 1013 |
1 · 1010 | 2,1 · 106 | 2 |
»10–27 |
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Wir sehen daran, daß bei einer gegebenen Temperatur die intrinsische
Ladungsträgerdichte
ni exponentiell von der Energielücke
Eg abhängt: Je größer Eg, desto geringer ni.
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Das ist insofern "logisch", weil die Ladungsträger ja die Energielücke
überwinden müssen, und die Wahrscheinlichkeit, daß das rein thermisch klappt, wird um so geringer, je größer
der Sprung ist. |
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Was wir uns spätestens jetzt ganz fest merken: |
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Energielücke im Si = 1,12 eV »1 eV.
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Mit den beiden allgemeinen Gleichungen für die beiden Ladungsträgerdichten
von oben (und mit bekannten eff. Zustandsdichten) kann man natürlich auch ni auch ausrechnen. Vorher müssen wir aber die Lage der Fermienergie bestimmen. |
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Mit der obigen Formel haben wir die Dichte der
Löcher im Valenzband auch vollkommen unabhängig von unserem Vorwissen, daß diese in perfekten (= intrinsischen)
Halbleitern gleich der Dichte der Elektronen im Leitungsband ist. Damit können wir zwei sehr wichtige Schlüsse
ziehen – mit Durchführung der Rechnung in einer Übung! |
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1.
Multipliziert man die beiden Ladungsträgerdichten, kann man das hier gezeigte
Massenwirkungsgesetz ableiten: |
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Das machen wir mal in einer Übung, die man unbedingt zumindest anschauen sollte: |
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"Massenwirkungsgesetz" (MWG) ist keine besonders tolle Bezeichnung
für obige Gleichung, weil nicht Massen, sondern allenfalls Ladungsdichten wirken. Der Name hat historische Gründe
und bezieht sich natürlich auf das Massenwirkungsgesetz der Chemie. |
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Das MWG ist eine unglaublich wichtige Gleichung! Sie erlaubt, die Ladungsträgerdichte
in einem Band sehr einfach zu berechnen, sofern man die Dichte im jeweils anderen Band kennt. Das ist für intrinsische
Halbleiter zwar trivial, aber nicht mehr für die sehr viel wichtigeren dotierten
Halbleiter! |
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2. Die bislang noch "unbekannte" Fermienergie EF
hat man aus der Übung erhalten durch Gleichsetzen der beiden Ladungsträgerdichten. |
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Das Ergebnis lautet: |
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Schaut man die Formel lange genug an, stellt man fest, daß die Fermienergie genau in
der Mitter der Energielücke liegt! |
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Man kann sich das – wie rechts gezeigt – auch graphisch klar machen:
Die beiden farbig markierten "Zwickel" der Fermiverteilung in den Bändern müssen gleich groß sein,
damit sich gleich große Ladungsträgerdichten ergeben. |
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Aus Symmetriegründen liegt die Fermienergie, also die Energie, bei der f(E=EF) = ½
ist, in der Mitte der Energielücke. |
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Das sollte man sich merken, denn mit der graphischen Konstruktion werden wir später viel
arbeiten. |
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Die entscheidende Energiebarriere in der Boltzmann-Näherung ist damit dem
Betrag nach immer ½ (EL + EV). |
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Damit bekommen wir für die intrinsische
Ladungsträgerdichte
ni (die Gleichungen in der Abbildung oben): |
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| nh=ne = |
ni = |
Neff · exp (– |
EL– EF
kBT |
) = Neff ·
exp ( – |
2EL– (EL+ EV)
2kBT |
) = Neff ·
exp (– |
Eg
2kBT |
) |
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Wir sehen also, daß bei einer gegebenen Temperatur die Energielücke
Egund die intrinsische Ladungsträgerdichte
ni in der Tat exponentiell voneinander abhängen. |
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Wir sehen aber auch, daß ni stark temperaturabhängig ist
(siehe auch dazu die obige Abbildung). |
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Intrinsische Leitfähigkeit
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Zuletzt bleibt noch die Frage nach der tatsächlichen Leitfähigkeit,
die uns die intrinsische Ladungsträgerdichte beschert. Weil ni stark temperaturabhängig
ist, gilt das folglich auch für die intrinsische Leitfähigkeit. |
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Die ni-Angaben in der obigen Tabelle gelten für Raumtemperatur;
verglichen mit der Ladungsträgerdichte von Metallen, sind das eher kleine Werte. Dementsprechend klein ist auch die
resultierende Leitfähigkeit – trotz der z. T. deutlich größeren Beweglichkeit µ von Halbleitern
(weniger Kristalldefekte). Daher gilt: |
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| Die meisten intrinsischen Halbleiter sind Isolatoren! |
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Eine merkliche Leitfähigkeit setzt erst ein, wenn die Temperatur so groß wird,
daß sehr viele Elektronen den Sprung vom Valenz- ins Leitungsband schaffen. Das ist der Fall, sobald die Aufweichungszone
so groß ist wie die Bandlücke; die Situation oben bei den in die Bänder hineinragenden "Zwickeln"
der Fermiverteilung ist bereits so gezeichnet. |
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Diese Situation bekommt einen eigenen Namen: Es handelt sich um den Fall der Eigenleitung.
In Formeln gilt: Eigenleitung setzt voraus, daß |
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Frage an alle: Ab welcher Temperatur tritt bei Silizium Eigenleitung auf? – Wer diese
Frage richtig beantwortet (dafür genügt bereits eine einfache Überschlagsrechnung im Kopf), versteht sofort,
vor was für einem großen Problem man bei der Nutzung von Halbleitern steht, bzw. warum man um das Dotieren von
Halbleitern nicht herumkommt. |
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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)
