5.1.2 Lage der Fermienergie im intrinsischen Halbleiter

Wo liegt die Fermienenergie? - Erster Teil

	Die wesentliche Definition der Fermienergie EF war
		f(E = EF)  =   1   2
		Damit kann man sich sofort - ohne Rechnung - überlegen, wo die Fermienergie beim intrinsischen Halbleiter liegen muß.
	Wir müssen lediglich darauf achten, daß wir bei der Verteilung von "Teilchen" auf die Bänder einen "Erhaltungssatz" nicht verletzen:
		Der Kristall bleibt elektrisch neutral, d.h. ungeladen - wir haben immer eine Neutralitätsbedingung.
		Falls wir nL Elektronen ins Leitungsband befördern, haben wir jetzt eine Ladungsdichte e · nL an negativen Ladungen im Leitungsband. Die Neutralitätsbedingung fordert dann, daß wir genauso viele positive Ladungen im Valenzband haben müssen.
		Das ist hier noch ziemlich trivial. Da das vollbesetzte Valenzband elektrisch neutral ist, wird jedes Elektron, das das Valenzband verläßt, dort eine unkompensierte positive Ladung zurücklassen, Die Forderung nach Ladungsneutralität in intrinsischen Halbleitern bedeutet deshalb nicht mehr oder weniger, als daß die Dichte der Elektronen im Leitungsband identisch ist zur Dichte der Löcher im Valenzband.
		Wir sind uns dabei natürlich immer im klaren, daß Ausdrücke wie "im Valenzband" sich nicht auf einen Ort beziehen, sondern auf eine Energie.

	Diese Aussagen hätten wir natürlich auch gleich machen können - schließlich treten Elektronen im Leitungsband und Löcher im Valenzband bisher immer nur paarweise auf. Die Betrachtung über Elektroneutralität ist jedoch allgemeiner und wird noch mal nützlich werden.
		Um jetzt die Lage der Fermienergie zu erhalten müssen nur das frühere Bild komplettieren - mit Leitungs- und Valenzband, und mit einem der Löcherkonzentration entsprechendem "Zwickel" im Valenzband. Das ist rechts gezeigt.
		Sofern die Zustandsdichten im Leitungs- und Valenzband auch nur ungefähr gleich "groß" sind, müssen auch die "Zwickel" gleich groß sein.
		Damit liegt wegen der Symmetrie der Fermiverteilung die Fermienergie fest: Sie muß in der Mitte des verbotenen Bandes liegen, d.h.
		EF  »  ½ · (EL  +  EV)
	Wir bekommen diese Ergebnis sofort auch in Formeln; wir müssen nur die notwendige Gleichheit der beiden Ladungsträgerdichten berücksichtigen, d.h. nL = nV := ni = intrinsische Ladungsträgerdichte
		Damit erhalten wir über die schon abgeleitete Formel für die Dichten der Elektronen/Löcher
	EL – EF kT = EF – EV kT      Þ    EF  =  EL + EV 2
	Da beide Ladungsträgerdichten im intrinsischen Fall gleich groß sein müssen, haben wir eine neue Abkürzung eingeführt, die intrinsische Ladungsträgerdichte ni(T). Sie ist natürlich stark temperaturabhängig, aber trotzdem ein essentieller Materialparameter.

	Effektive Zustandsdichten
	Das war einfach - aber es wird schon noch komplizierter! Für intrinsische Halbleiter können wir jetzt die 2. Frage des vorigen Unterkapitels beantworten, indem wir für die Energie der Bandlücke EG relevante Werte einsetzen (z.B. EG = 1,1 eV für Si).
		Die Antwort ist: Der Faktor T 3/2 verursacht für "normale" Temperaturen keine nennenswerte Abweichung von einer Arrheniusgeraden; im Link ist das graphisch gezeigt.
	Damit können wir uns das Leben nun sehr stark vereinfachen: Wir ziehen zur Berechnung der Ladungsträgerdichten alle Faktoren inklusive der Temperatur vor dem Boltzmannterm zu einer integralen effektiven Zustandsdichte Neff zusammen. Wir erhalten eine (im Prinzip schwach temperaturabhängige) Zahl.
		Damit lassen sich die Ladungsträgerdichten im Leitungs- bzw. Valenzband um T = 300 K in sehr einfacher Weise ausdrücken:
		nL(T)  =  ni(T)  =  NLeff · exp – EL – EF kT      nV(T)  =  ni(T)  =  NVeff · exp – EF – EV  kT
	Will man es ein bißchen genauer haben, läßt man den Faktor T 3/2 noch außen vor und schreibt
		Neff  =   N*eff  . T 3/2
		Ein Beispiel zu Zahlenwerten und der Temperaturabhängigkeit der effektiven Zustandsdichte. Für Silizium gilt N*eff  » 4.59 · 1015 cm –3 · T 3/2, daraus ergibt sich für die effektive Zustandsdichte Neff
		T [K] 100 200 300 500 1000 Neff [cm–3] 4.59 · 1018 1.30 · 1019 2.39 · 1019 5.13 · 1019 1.45 · 1020
		Für eine Änderung der Temperatur um eine Größenordnung erhalten wir also eine Änderung von Neff  um etwas mehr als eine Größenordnung.
		Für eine Bandlücke EG von zum Beispiel 1 eV ändert sich aber der Exponentialterm von 4 · 10 –51  auf  9 · 10 –6 falls man die Temperatur um eine Größenordnung variiert - man wird also keinen großen Fehler machen, wenn man im Bereich der Raumtemperatur mit einer ungefähr konstanten effektiven Zustandsdichte Neff = 2.4 · 1019 cm –3 rechnet.
	Die Frage ist jetzt natürlich, wie gut die obigen Zahl für die effektive Zustandsdichte ist? Wir können Sie ja über die Ladungsträgerkonzentration auch messen.
		Die Antwort ist: Ziemlich gut (siehe unten). Gemessene Werte für Si liegen so um einen Faktor zwei unerschiedlich - das ist aber eher Zufall; bei den vielen Näherungen im freien Elektronengasmodell hätte auch ein Faktor 10 noch nicht zur Beunruhigung führen müssen.
	Wichtig ist: Diese Gleichungen gelten immer (natürlich im Rahmen der gemachten Näherungen; im wesentlichen die Boltzmann Näherung für die Fermiverteilung).
		Für die effektiven Zustandsdichten nehmen wir natürlich nicht theoretische Näherungswerte, sondern schlicht die gemessenen Werte.
		Es ist dann ganz natürlich, daß wir für die effektive Zustandsdichte des Leitungsbands NLeff etwas andere Werte bekommen als für die effektive Zustandsdichte des Valenzbandes NVeff- schließlich sind auch die realen Zustandsdichten unterschiedlich.
	Was bedeutet das für die Lage der Fermienergie? Nur eine kleine Änderung. Wir erhalten EF wieder aus der Gleichsetzung von nL und nV und erhalten jetzt
	kT ln (NLeff)  – (EL – EF)  =  kT  ln NVeff – (EF – EV)  ;   EF   =   EL + EV  2  + kT 2 ln (NVeff /NLeff)
		Dabei sind natürlich für die effektiven Zustandsdichten nur die Zahlenwerte einzusetzen; die Maßeinheit ist egal.
	Die effektiven Zustandsdichten müßten also (?? nachprüfen) schon ziemlich verschieden sein, bevor sich EF stark ändert.
		Die folgende Tabelle gibt einige Beispiele (aus der Internet Resource http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/Semicond/..
		Um den Wert bei Rauntemperatur zu erhalten, multipliziert man mit 2903/2 » 5 · 103.
		Halbleiter   Effektive Zustandsdichte [cm–3] Leitungsband Valenzband Silizium Si 6,2·1015 · T3/2 3,5·1015 · T3/2 Germanium Ge 1,98·1015 · T3/2 9,6·1014 · T3/2 Galliumarsenid GaAs komplex 1,83·1015 · T3/2 Galliumphosphid GaP 3,4·1015 · T3/2 3,6·1015 · T3/2 Galliumnitrid GaN Wurtzite 4,3 · 1014 · T3/2 Zinc Blende 3 · 1014 · T 3/2 Wurtzite 48,9 · 1014 · T3/2 Zinc Blende 8,0 · 1014 · T3/2 Indiumantimonid InP 1,1·1014 · T3/2 2,2·1015 · T3/2 Silziumcarbid SiC     Diamant C » 1020 » 1019
	Fragebogen / Questionaire Multiple Choice Fragen zu 5.1.2
	Nur zur Illustration: mann kann natürlich immer noch ein bißchen besser nähern; lange Formeln sind im Zeitalter der PC kein Problem mehr. Für GaAs ist z.B. folgender Ausdruck gebräuchlich:
		Nc(GaAs) = 8.63·1013·T3/2 · [1-1.9310-4·T - 4.19·10-8·T2 + 21·exp(-EGL/(2kbT)) + 44·exp(-EGX/(2kbT)) [cm-3]

© H. Föll (MaWi 2 Skript)