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Wir betrachten ein Teilchen, das sich in dem dargestellten Potential eindimensional
bewegt. Das Teilchen habe eine Gesamtenergie E, für die gelten soll: E < V0.
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Das ist eine wichtige Beschränkung! Ein klassisches
Teilchen kann sich deshalb nur im Bereich (1) aufhalten. Wenn das nicht glasklar
ist, unbedingt darüber nachdenken! |
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Die Potentialstufe sieht also so aus: |
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Links ist das Potential - also die potentielle Energie des Teilchens - Null, rechts hat es
den endlichen Wert V0 |
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Wir fragen uns im wesentlichen, was einem Teilchen passiert das sich im Bereich (1)
aufhält, wenn es auf die Potentialschwelle trifft. |
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Fragen: |
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1. Wie lautet die Schrödinger-Gleichung für das Teilchen in Gebiet (1)? |
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2. Zeige, daß y1(x) = A
· exp (ikx) + B · exp –(ikx) eine Lösung der Schrödinger-Gleichung in
Gebiet (1) ist.
A und B sind von 0 verschiedene Konstanten, und i ist die imaginäre Einheit;
i2 = –1. |
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Was wird durch k physikalisch beschrieben? Hinweis:
Beachte die Dimension und die allgemeine Form der Lösung (verwende den Eulerschen Satz). |
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3. Wie lautet die Schrödinger-Gleichung für das Teilchen in Gebiet (2)? |
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4. Zeige, daß y2(x) = C
· exp –(a · x) eine Lösung der Schrödinger-Gleichung in
Gebiet (2) ist.
C ist wieder eine von null verschiedene Konstante. |
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Weiterhin gilt: |
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| a2 = |
2m · (V0 – E)
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 2 |
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5. Berechne die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
|y2(x)|2 des Teilchens in Gebiet (2) und vergleiche
das Ergebnis mit deiner Erwartung für ein klassisches (nicht quantenmechanisches)
Teilchen? |
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6. Was könnte passieren, wenn statt einer Potentialschwelle eine dünne Barriere
genommen wird? |
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7. Warum macht die Lösung y1'(x)
= C' · exp –a · x für Gebiet (1) physikalisch keinen
Sinn? |
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8. Welcher Grenzfall führt bei diesem Problem auf das klassische Ergebnis? |
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© H. Föll (MaWi 1 Skript)
2.1.3 Schroedingergleichung und Wasserstoffatom 
Mit Frame