Lösung zur Übung 3.2-3

	Zeige, dass für ein orthombisches Bravaisgitter, die Ebenen mit der Miller Indizierung {hkl} folgenden Abstand dhkl haben
		dhkl  =  1 {(h/a)2 + (k/b)2 + (l/c)2}1/2

	Entscheidend ist eine sinnvolle Zeichnung:
	Das Gitter ist im Prinzip orthorhombisch, auch wenn es ziemlich kubisch aussieht. Die grüne Ebene hat beliebige Indizes h, k, l >1. Dadurch liegen die Schnittpunkte in der EZ. Entscheidend ist, dass man folgende Zusammenhänge erkennt:
		1. Der Abstand zur nächsten Ebene der durch {hkl} definierten Ebenenschar ist durch die Länge des roten Vektors gegeben, der vom Ursprung ausgeht und senkrecht auf {hkl} steht. Denn der Ursprung liegt immer auf einer Ebene der Ebenenschar.
		2. Die Länge der Strecken vom Ursprung zu den Schnittpunkten der Ebene mit den Achsen ist a/h, b/k, bzw. c/l. Das folgt direkt aus der Definition von h, k und l, die ja reziprok die Schnittpunkte in Einheiten der Gitterparameter angeben.
	Der Rest ist jetzt Geometrie.
		Zunächst berechnen wir, wie lang der rote Vektor dhkl ist. Dazu definieren wir die Winkel, die er mit den Koordinatenachsen bildet als ax, ay und az.
		Für die aus Ursprung, Endpunkt von dhkl, und den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen gebildeten Dreiecke gilt
		dhkl  =  a h · cos ax  =   b k · cos ay  =   c l · cos az
	Wenn man sich jetzt an die Eulersche Beziehung zwischen den Cosinüssen erinnert, liegt nahe, die Terme zu quadrieren und dann zu addieren. Wir erhalten
		cos2 ax + cos2 ay + cos2 az  =  1  =  (dhkl)2   ·  æ è (h/a)2 + (k/b)2 + (l/c)2  ö ø               Eulersche Beziehung
	Damit sind wir fertig. Für den gesuchten Abstand dhkl ergibt sich
		dhkl   =  1 {(h/a)2 + (k/b)2 + (l/c)2 }1/2 q.e.d.
	Die im Rückgrat gegebene Formel für kubische Gitter erhält man sofort durch die dann gültige Beziehung a = b = c = a0 zu
		dhkl(kubisch)   =  a0 (h2 + k2 + c2 )1/2

Mit Frame

Ebenenabstand in nichtkubischen Gittersystemen

Übung 3-4

© H. Föll (MaWi 1 Skript)