Solution to Exercise 2.2-2

Zahlenwert für Fermienergie

	Gegeben ist die folgende Formel, sowie Zahlenwerte für dei Elektrionedichte aus der Lösung zu Aufgabe 2.1-2:
		EF  =  2 2me æ ç è 3p2 · ne ö ÷ ø 2/3 Atom Density [kg · m–3] Atomic weight × 1,66 · 10–27 kg Conductivity s × 105 [W–1 · m–1] No. Atoms [m–3] × 10 28 Na 970 23 2,4 2,54 Cu 8.920 64 5,9 8,40 Au 19.300 197 4,5 5,90
	Die notwendigen Konstanten finden sich in jedem Buch oder in den Modulen von MaWi I. Wir nehmen
		h = 4.13 · 10–15 eVs, me = 9.1 · 10–31 kg und bekommen sofort
		EF  =  1.07 · æ è ne  ö ø 2/3   eV2/J
		Die Einheit eV2/J gilt falls wir die Dichte in m–3 angeben. Nun sind zwar eV und J beides Energiemaßeinheiten, aber sie kürzen sich deshalb noch lange nciht wg, sondern wir haben 1 J = 6.24 · 1018 eV. Eingesetzt bekommen wir
		EF  =  2.72 · 1019 æ ç è · ne ö ÷ ø 2/3  eV
	Mit den Dichtewerten von oben (d.h. für ein freies Elektron pro Atom) erhalten wir
		EF  =     2.34 eV   für Na 5.19 eV   für Cu 4.10 eV   für Au
	Das sieht doch ganz vernünftig aus. Nur, was bedeuten die Zahlen?
		Einfach: Im Bereich von wenigen eV oberhalb unseres Energienullpunktes ist genug "Platz" um ziemlich viele Elektronen unterzubringen!
		Wenn man die zugehörige Zeichnung anschaut, und dann unterstellt, dass unser Nullpunkt irgendwo im Bereich der Energieniveaus der "obersten" Elektronen des jeweiligen Atoms sitzen wird, besagt das Ergebnis ganz einfach, dass in den mindesten ca. 5 eV (d.h. der Ionisationsenergie der Atome) bis zur Vakuumenergie, genügend "Platz" ist für alle freien Elektronen.
		Das ist nicht selbstverständlich, wenn man bedenkt, was für Näherungen wir gemacht haben. Es wäre ja auch nicht besonders verwunderlich gewesen, wenn sich sehr viel größere Werte ergeben hätten. Das hätte dann bedeutet, dass einige der freien Elektronen energetisch gar keinen Platz im Kristall gefunden hätten, sie wären sozusagen aus dem Kristall "herausgefallen".
		Damit zeigt sich in dieser simplen Aufgabe schon, dass das freie Elektronengasmodell gar nicht so schlecht ist.

Mit Frame

Zahlenwert für Fermienergie

© H. Föll (MaWi 2 Skript)