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Die Zustandsdichte D(E) der Elektronen ist elementar wichtig.
Man kann sie, ohne die Schrödingergleichung zu lösen, ganz schnell ableiten indem man die Heisenbergsche
Unschärferelation als "gottgegeben" hinnimmt. |
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Die Grundannahme ist, dass zwei verschiedene
Elektronenzustände sich sowohl im Ort x als auch im Impuls p um mindestens Dx
und Dp unterscheiden müssen, wie es in der Heisenbergschen Unschärferelation
festgelegt ist. Sonst wären die Zustände nicht zu unterscheiden, d.h. man hätte nur einen Zustand. |
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Die Heisenbergsche Unschärferelation lautet |
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Beziehen wir das auf den ganzen Raum gilt |
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Da wir eine Minimalrechnung machen ist das ³ Zeichen
jetzt durch ein Gleichheitszeichen ersetzt. |
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Das kleinstmögliche "Volumen" (Dpx)3
eines Zustand im Impulsraum oder Phasenraum
ist (mit (Dx)3 = V = betrachtetes Gesamtvolumen) |
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Alle Zustände mit |p'| < |p| füllen im Impulsraum
eine Kugel mit dem Volumen Vp = 4p/3 · |p|3.
Die Zahl der Zustände N(|p|) bekommen wir, wie gehabt, indem wir dieses Volumen durch das Volumen
h3/V
eines Zustandes teilen. Wir berücksichtigen gleich, dass jeder Zustand wg. Spin
zweimal zählt, und erhalten |
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| N(|p|) | = |
2 · 4p · |p|3 · V
3h3 |
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Jetzt brauchen wir noch eine Beziehung zwischen Impuls p und kinetischer
Energie E (andere als kinetische Energien gibt es
beim freien Elektronengas ja nicht). Dafür nehmen wir das klassische E = p/2m mit m = Masse der
Elektronen. |
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Zur Zustandsdichte D(E) = D(p(E)) kommt man
durch Substitution von p durch E, differenzieren nach E (gibt Zustände dE
pro dE) und dividieren durch das Volumen V. Wir erhalten |
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| D(E) | = 4p |
æ
ç
è |
2 · m
h2 | ö
÷
ø
| 3/2 | · E1/2 |
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Das ist exakt
unsere alte Formel (falls man statt h noch  · 2p einsetzt). |
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© H. Föll (MaWi 2 Skript)
2.2.3 Zustandsdichte des freien Elektronengases 
Mit Frame