7.2.3 Merkpunkte zu Kapitel 7.2: Der allgemeine Spannungszustand

	Ein beliebiger Körper verformt sich elastisch unter dem Einfluß beliebiger Kräfte. Wir beschreiben den Vorgang:
		Aus einem kubischen Volumenelement dV am Punkt r wird im allgemeinsten Fall ein "geschertes" Parallelepiped.
		Analogie: Aus einem kubischen Gitter wird ein triklines.
	Dazu muß auf jede Fläche des Kubus eine beliebige Spannung wirken können, die wir in eine Normal- und zwei Scherspannungen zerlegen können: ⇒
		Die "Buchhaltung" erfolgt durch zwei Indizes: Der erste gibt die Ebene an ("i" für die Ebene senkrecht zu xi), der zweite die Richtung ("j" für xj Richtung).
	Anordnung der σij und τij in Matrixform ergibt einen Tensor. ⇒			σij(x,y,z) =    σ11  τ12  τ13 τ21  σ22  τ23 τ31  τ32  σ33    σi j   =   σ–i –j τi j   =   τj i
		Da unser dV - Würfel sich weder bewegen noch drehen soll, sind nur 6 Komponenten unabhängig.
	Tensoren sind Weiterführungen von Vektoren; der Spannungstensor ist ein Tensor 2. Stufe.			F  =  · A Fx  =  σxx · Ax  +  σxy · Ay  +  σxz · Az Fy  =  σyx · Ax  +  σyy · Ay  +  σyz · Az Fz  =  σzx · Ax  +  σzy · Az  +  σzz · Az
		Skalare = Tensoren 0. Stufe Vektoren = Tensoren 1. Stufe (1 Unterstrich) Spannungen, Dehnungen = Tensoren 2. Stufe (2 Unterstriche) (E-Modul = Tensor 4. Stufe).
		Tensoren 2. Stufe verknüpfen Vektorfelder, so dass ein lokaler Vektor, z.B. ein lokaler Oberflächennormalenvektor A durch Multiplikation mit dem Tensor in einen anderen Vektor transformiert wird; im Beispiel in die auf die Oberfläche wirkende Kraft F. ⇒
		Der einfachst mögliche Fall einer solchen Verknüpfung ist, dass jede Komponenten des Kraftvektors von jeder Komponente des Oberflächennormalenvektors abhängt:
	Die Verknüpfung von Spannungstensor σij und dem zugehörigen Dehnungstensor εij braucht im allgemeinsten Fall jetzt einen Tensor 4. Stufe mit 81 Komponenten; die cijkl heißen elastische Koeffizienten. ⇒			σ11  =   c11 11 · ε11 + c11 12 · ε12 + c11 13 · ε13 + c11 21 · ε21 + c11 22 · ε22 + c11 23 · σ23 + c11 31 · ε31 + c11 32 · ε32 + c11 33 · ε33 σ12  =   c12 11 · ε11 + ....   ...........
	Mit Symmetrieüberlegungen läßt sich (für die hier immer unterstellten Einkristalle) die Zahl der elastischen Koeffizienten reduzieren:
		Im "schlimmstmöglichen" Fall (trikline Symmetrie) werden 21 elastische Koeffizienten gebraucht.
		Im einfachsten Fall (kubische Gitter), reichen 2 - daraus lassen sich dann unsere altbekannte elastische Module wie E, ν, G oder K ableiten.

		Der einfachste Fall gilt auch für beliebige isotrope homogene Materialien, z.B. für alle Polykristalle mit "kleinen" willkürlich orientierten Körnern oder für isotrope amorphe Materialien - und damit für die gebräuchlisten technischen Werkstoffe.
		Speziellen Spannungszuständen entsprechen "einfache" Tensoren. ⇒
	Für einen gegebenen Tensor läßt sich durch eine geeignete Koordinatenstranformation immer ein Koordinatensystem finden, bei dem alle Nichtdiagonalelemente = 0 sind. ⇒			σij(x,y,z) =    σ1  0   0 0   σ2  0   0    0   σ3    σ1 > σ2 > σ3
		Dieses KO-System heißt Hauptachsensystem.
		Tensoren werden, soweit möglich, immer im Hauptachsensystem notiert.
		Die verbliebenen Normalspannungen werden dann nur mit einem Index geschrieben und der Größe nach geordnet.
	Die maximale Scherspannung τmax die dann auftreten kann, ist gegeben durch die nebenstehende Formel. ⇒			τmax  =   σ1 – σ3 2
		Die Ebenen mit maximaler Scherspannung liegen unter 45o zu den Ebenen auf denen σ1 und σ3 wirken.
	Bedeutung:
		Die maximal möglichen Scherspannungen bestimmen das Auftreten von plastischer Verformung.
		Die maximale Nornalspannung σ1 bestimmt das Auftreten von Bruch.

© H. Föll (MaWi 1 Skript)