Lösungen zur Übung 4.2-2:

Anwendung des 2. Fickschen Gesetzes

Zeige, dass der folgende Ausdruck die Lösung des Diffusionproblems: Eindiffusion von außen; "unendliche Quelle ist

n(x, t) = (n_¥ – n₀) ·	æ ç è	1 – erf	æ ç è	x 2(D · t)^1/2	ö ÷ ø	ö ÷ ø	+ n₀

Der Ausdruck "erf " steht dabei für "Errorfunction" oder Gaußsche Fehlerfunktion ; eine tabellierte Funktion mit folgender Definition:

erf (x) =	2 p^1/2	·	x ó õ 0	exp – x' ² · dx'

Erstmal definieren wir das Problem etwas schärfer und allgemeiner:

Wir betrachten n(x, t), d. h. wir werden das 2. Ficksche Gesetz benötigen:

¶n ¶t	= D ·	æ ç è	¶ ²n ¶x²	+	¶² n ¶y²	+	¶² n ¶z²	ö ÷ ø	= D · Dn

In n_¥ und n₀ "verstecken" sich die Randbedingungen. Offenbar (nachdenken!) ist ihre Bedeutung wie folgt:

n₀ = n(x, t = 0); d.h. es beschreibt die örtlich konstante As-Grundkonzentration im Si zu Beginn der Diffuison (muss ja nicht unbedingt = 0 sein).
n_¥ = n(x = , t); d.h. es beschreibt die As-Konzentration auf der Oberfläche zu allen Zeiten. Da es konstant ist, haben wir eine unerschöpfliche Quelle.

Damit ist alles klar, die Lösung erhalten wir wie folgt:

Mit Frame

Übung 4.2-2 Anwendung des 2. Fickschen Gesetzes