Lösung zur Übung 2.2-1

	1. Wir starten mit zweimaliger Differentiation der zu verifizierenden Lösung in einer Dimension. Wir erhalten
		y(x)  =  æ ç è 1 L ö ÷ ø 3/2 · exp (i · k · x)   dy dx  =  æ ç è 1 L ö ÷ ø 3/2 · i · k · exp (i · k · x)   d2y dx2  =  æ ç è 1 L ö ÷ ø 3/2 · (– 1) · k2 · exp (i · k · x)
		Eingesetzt in die Schrödingergleichung und mit (1/L)3/2 = L* um Schreibarbeit zu sparen, ergibt sich im Gebiet V = 0
		2 2me  ·  L* · k2 · exp(i · k · x)  =  E · L* · exp(i · k · x)
	Unser Lösungsansatz ist also dann, und nur dann eine Lösung, falls folgende Bedingung erfüllt ist:
		E  =  2 · k2 2me
		Das ist die postulierte Gleichung für die Gesamtenergie; der erste Teil der Aufgabe ist damit erledigt.
	Für den 2. Teil müssen wir folgendes Integral lösen:
		L ó õ 0 L ó õ 0 L ó õ 0 (L*)2 · exp(i · k · x) · exp(– i · k · x) · dxdydz  !=  1  =  (L*)2 · L ó õ 0 L ó õ 0 L ó õ 0 dxdydz
		Das Integral ist natürlich schlicht = L3; wir erhalten
		L3 · (L*)2  =  L3 · 1 (L3/2)2  =  1  q.e.d.
	Wir sehen auch, wo die lästigen 3/2 etc. Potenzen herkommen, die fast jede Formel der Quantentheorie verunstalten:
		Die 2 kommt von der immer erforderlichen Quadrierung der Vorfaktoren bei der Betragsquadratbildung der Wellenfunktion, und die 3 oder was immer von den Dimensionen des betrachteten Problems.
		Lästig, unschön, zu Fehlern verführend - aber eigentlich trivial.
	Für den dritten Teil müssen wir die Lösung in die Randbedingung einsetzen, d.h.
		L* · exp(i · kx · x)  =  L* · exp[i · kx · (x + L)]      =  L* · exp(i · kx · x)  · L* · exp(i · kx · L)
	Die Gleichungen für ky und kz sind natürlich entsprechend. Diese Gleichungen können nur befriedigt werden, falls gilt
		L* · exp(i · kx, y, z · L)  =  1     kx, y, z  =  nx, y, z ·   2p L           nx, y, z  =  0, ±1, ±2, ±3, ....
	Die Quantenzahlen, die unsere Lösungsmannigfaltigkeit sortieren, kommen also aus den Randbedingungen!

Mit Frame

Verifikation des Lösungsansatzes

© H. Föll (MaWi 2 Skript)