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Vorbemerkungen: Hier sind absichtlich keine Links gesetzt.
Wer hier etwas nicht sofort versteht, tut gut daran selbst aktiv zu suchen! |
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Die molare Wärmekapazität C
jedes Festkörpers ist in der klassischen Physik zwangsweise und unabänderbar
9/2 R. |
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Dabei entfallen 6/2 R auf das Gitter und 3/2 R auf die freien Elektronen. |
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Das ist aber zweifach falsch: 1. ist C
maximal 3 R, d.h. der Beitrag der Elektronen ist nicht da, und 2. geht C mit sinkender Temperatur
immer auf Null. |
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Das Problem der fehlenden spezifischen Wärme der Elektronen löst sich
sofort in der Quantentheorie: |
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Elektronen unterhalb der Aufweichungszone der Fermiverteilung können keine Energie aufnehmen,
da sie dazu ihren Zustand ändern müssten, d.h. auf einen anderen Platz in Zustandsraum "springen" müssten.
Da es in ihrer energetischen Umgebung keine freien Plätze gibt, kann ein "Energieänderungsprozess" nicht
erfolgen. |
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Nur dieElektronen im Aufweichungsbereich der Fermiverteilung sind energetisch flexibel; das
sind aber bei normalen Temperaturen nur sehr wenige. |
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Eine schnelle überschlägige Berechnung unter der Annahme, dass die verfügbare
Zahl der Elektronen gegeben wird durch Neff » L3 ·
D(EF) · kT, liefert sofort das einfache (und zu Experimenten sehr gut passende)
Ergebnis |
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| Ce » |
9NA
2EF |
· k2T | = 9/2 R · |
kT
EF |
= | 9
2 |
· R · | T
TF |
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Eine genauere Rechnung führt in haarige, aber rein mathematische Probleme
bei der Auswertung bestimmter Integrale, und liefert nahezu dasselbe Ergebnis |
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Ce » D(EF) · |
¥
ó
õ
0 | (E – EF) · |
d
dT |
æ
ç
è |
1
exp – (E – EF)/kT |
ö
÷
ø |
dE | » |
p2
2 |
· R · | T
TF |
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Die spezifische Wärme der Elektronen ist zwar nicht von großer technischer
Bedeutung, aber das einfachste und klarste Beispiel für das Wirken von Zustandsdichte und Fremiverteilung. Außerdem
illustriert es sehr schön die zwar von der Sache her trivialen, aber doch sehr lästigen mathematischen Probleme
mit "Fermiintegralen". |
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Die Thematik "Leitfähigkeit" ist jetzt einfach zu fassen. Die klassische
Betrachtung kommt zu völlig falschen Werten für die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen. |
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Nehmen wir aber wieder überschlagsmäßig als Mittelwert die Hälfte
der Fermigeschwindigkeit (1/2 m · vF2 = k · TF), lösen sich alle
Probleme in Wohlgefallen auf. |
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Da vF relativ konstant ist, wird die bestimmend Größe
für die Leitfähigkeit die mittlere freie Weglänge zwischen Stößen.
Streuprozesse an Defekten und Phononen dominieren die Temperatur- und Gefügeabhängigkeit, daraus lassen sich leicht
einige Regeln ableiten bzw. historische Regelen und "Gesetze" begründen: |
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Matthiesen Regel: Der spez. Widerstand hat
einen temperaturunabhängigen, durch Defekte gegebenen Anteil, und einen mit T wachsenden, durch Phononen
bestimmten Anteil. |
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Der Widerstand wächst linear mit der Temperatur, es gilt |
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| r » r0
(1 + aT) | |
a » 4 · 10– 3
K– 1 |
| Dr |
» | 0,4%
0C |
| für alle
"normalen" Metalle |
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Nordheim Regel: Bei Legierungen nimmt der
Widerstand immer (zunächst linear) mit der Konzentration des Legierungselements zu. |
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© H. Föll (MaWi 2 Skript)
