Lösungen zur Übung 2.2-1:

Folgerungen aus der Bohrschen Quantenbedingung

	1. Zeige, daß die Gleichung für die erlaubten Radien der Elektronenbahn aus den gegebenen zwei Gleichungen resultiert.:
	Aus
		mvr   =  n ·
		folgt durchUmsellen
		v  =  n · m · r
		Einsetzen in die Kräftegleichgewichtsformel ze2/4πε0r2 = mv2/r gibt direkt
		rn  =   n2 · h2 · ε0 z · π · e2 · m

	2. Berechne potentielle, kinetische und Gesamtenergie des Elektrons als Funktion der Quantenzahl:
		Multipliziert man die Kräftegleichgewichtsformel mit r, erhält man
		z · e2 4π · ε0 · r  =  m · v2  =  2Ekin
		Die rechte Seite ist also die doppelte kinetische Energie des Systems.
		Die potentielle Energie entspricht der Arbeit, die man gewinnt, falls man das Elektron aus dem Unendlichen zur Position r bringt. Wir haben also
		Epot  =   r ⌠ ⌡ ∞ z · e2 4π · ε0 · r'2 · dr'   = –   z · e2 4πε0 · r
		Das ist genau die rechte Seite der obigen Gleichung.
	Damit gilt
		|Epot|  =  = 2Ekin q.e.d.
		Eges  =  Ekin + Epot  =  – Ekin  =  – ½mv2
		Die potentielle Energie muß vorzeichenrichtig, d.h. mit dem Minuszeichen engesetzt werden. Die Gesamtenergie ist dann, wie es sein muß, negativ, d.h. das Elektron ist gebunden.
		Mit der Formel für die Geschwindigkeit von oben ergibt sich
		Eges = –   m · (n · h)2 2 · (2π · m · r)2  = –  n2 · h2 8m · π2 · r2
		Setzen wir noch r von oben ein, haben wir
		Eges  =  –  n2 · h2 8m · π2  ·  π2 · e4 · m2 n4 · h4 · ε02  =   m e4 8 h2ε02  ·   1 n2

	3. Berechne die Umlauffrequenz ν als Funktion von n:
		Die Umlauffrequenz ν ist der Kehrwert der Umlaufzeit tu = 2πr/v, wir haben also mit den Ausdrücken für v and r von oben
		ν  =   v 2π · r  =  m · e4 4 · h3 · ε02  ·  1 n3

	4. Berechne die Energiedifferenz zwischen zwei Bahnen mit den Quantenzahlen n und m:
		Die Energiedifferenz ∆En,m zu den Quantenzahl n und n' ist
		∆En,m =   me4 8h2ε02  ·    1 n2   –    1 n'2  

Mit Frame

Übung 2.1-2

© H. Föll (MaWi 1 Skript)