 |
Der Elastizitätsmodul E ist sowohl eine der wichtigsten (und
leicht meßbaren) Materialeigenschaften als auch eine direkt die atomare Natur der Materie demostrierende Größe. |
|
 |
Der E-Modul resultiert, wie wir bereits wissen, direkt aus dem Bindungspotential, das wiederum die Lösung der Schrödingergleichung
für die betrachtete Bindung repräsentiert. |
|
|
Betrachtet werden dabei immer nur ein paar der äußeren Elektronen der betrachteten
Atome. Bedenkt man, daß der Radius der 1. Bohrschen Bahnen oder die Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der
betrachteten Orbitale gut 10.000 mal größer sind als die Größe des Atomkerns oder der Elektronen
(ein typischer Wert für die Größe eines Atomkerns
ist 3.4 · 10–15 m, ein Elektron hat den "klassischen" Radius 2.8
· 10–15 m, der Bohrsche Radius liegt bei ca. 5.3 · 10–11
m), besteht die Materie im wesentlichen aus leerem Raum, mit ein paar geladenen "Punkten" darin. |
|
|
Na ja - nicht ganz richtig! Der "leere" Raum ist angefüllt mit den elektrischen
Feldern der geladenen "Punkte". Jede der "Punktladungen" q produziert im Abstand r
ein elektrisches Feld E, das gegeben ist durch |
| |
|
|
|
Wir sind natürlich inzwischen schlau genug, E
und E nicht zu verwechseln! |
|
In der Nähe eines Elektrons wird man im wesentlichen nur das Feld dieses
Elektrons spüren. Dieses Feld hat wie jedes elektrische Feld eine Energiedichte E
(wir nehmen hier, aus reiner Bosheit, dreimal das gleiche Symbol, nur in anderen Farben!), die gegeben ist durch |
| |
| E = |
e0 · E2
2 | = |
2300 GPa
p r4 |
|
|
|
|
Der Ausdruck rechts resultiert, wenn man die erste Gleichung für das Feld und die Werte
für die Elementarladung und e0 einsetzt und den Radius in Å
angibt. Die Energiedichte hat dann die Einheit GJ/m3. |
|
Die Energiedichte E hat die Einheit
[J/m3]. Die Energie des elektrischen Felds ist die Ursache für die Kraft zwischen zwei Ladungen -
die Coulombkraft - weil Kraft mal Weg die Arbeit beschreibt, die man aufbringen muss, um die Energiedichte des Gesamtfeldes
für den gewählten Abstand zu bekommen. |
|
|
Andersherum ausgedrückt, die Kraft ist die (negative) Ableitung der potentiellen elektrostatischen
Energie für diesen Fall. Auch nichts wirklich Neues. |
|
Jetzt zurück zum E-Modul. Er beschreibt, was passiert, wenn
wir ein Stück feldgefüllten Raum mit "Punktladungen drin (= ein Material) nehmen, und jetzt die Ladungen
etwas dichter beisammen haben wollen. Wir "drücken" oder, wenn wir es etwas weniger dicht haben wollen, "ziehen"
(= Zugversuch) am Material. |
|
|
Die Einheit des E-Moduls ist Pascal
[Pa]; normalerweise nehmen wir Gigapascal, GPa. Ein Pascal war definiert als 1 Pa = 1N/m2.
Wir können da aber noch einen Meter reinmultiplizieren, und erhalten genauso gut 1 Pa = 1Nm/m3 = 1J/m3. |
|
Aha! Der E-Modul beschreibt also auch
eine Energiedichte! Welche wohl? |
|
|
Genau! es kann sich nur um die Energiedichte des elektrischen Feldes der an der Bindung beteiligten
Elektronen handeln. Und zwar in Abständen r die so rund und roh einen Bindungsabstand beschreiben. |
|
|
Das kann man nun schnell ausrechnen, was man bekommt sieht so aus: |
| |
| Abstand r vom Elektron [Å] |
Elektrische Energiedichte E
[GPa] | Kommentar | | 4.0 |
2.8 |
Größenordnung E-Modul
von Polymeren |
| 1.37 | 208 |
Größenordnung E-Modul
von Metallen |
| 1.0 | 732 |
Größenordnung E-Modul
von Keramik / Diamant |
|
|
Nochmal Aha! Der E-Modul beschreibt
wohl tatsächlich den Teil der elektromagnetischen Energiedichte, den wir mechanisch noch ein bißchen ändern können.
|
|
|
Das sind letztlich die Felder, die von den äußeren Elektronen herkommen. Die inneren
Elektronen werden von "normalen" mechanische Drücken nichts merken. |
| | |
|
|
|
Nach "The Curious World of Conact Angles and Particle Adhesion" von Robert Lacombe;
in "Materials Science and Technology Newsletter", Vo. 2 No. 3 March 2006. |
© H. Föll (MaWi 1 Skript)
Mit Frame
2.4.1 Ableitung des E-Moduls