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Das Ohmsche Gesetz ist nur sinnvoll für
spezifische Größen: |
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j = Stromdichte
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E = Feldstärke . |
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Wesentliche Materialkonstante ist: Leitfähigkeit
s oder spez. Widerstand
r. | |
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Typische Werte sind wichtig! |
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| r (Metall) | » |
1 µ Wcm | | | |
| | r (Halbleiter) |
» | 1 Wcm |
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| r (Isolator) | » |
1 GWcm |
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Man muss mit den ca. 1 µWcm guter reiner Metalle (Ag,
Cu) leben, man kann sie immer nur verschlechtern (Defekte , Legieren, ...), aber nie besser machen. |
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Elektrische Stromdichte ist ein Nettostrom
geladener Teilchen, gegeben durch Zahl der Ladungen = Teilchen, die pro Sekunde mit einer mittleren Nettogeschwindigkeit
v D durch einen cm2 fließen. |
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| s | := |
q · n · vD
E | = |
constant | | | | | | |
vD
E | =: |
m = constant | |
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Das läßt sich immer so schreiben Þ
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Die Driftgeschwindigkeit vD, verursacht durch das elektrische Feld,
ist aber extrem klein gegenüber der mittleren thermischen Geschwindigkeit vtherm |
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Für die Leitfähigkeit ergibt sich sofort Þ |
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Damit ist ein neuer, sehr wichtiger Materialparameter, die Beweglichkeit
m definiert. | |
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Das Ohmsche Gesetz ist nun hergeleitet, in der "Materialform" schreibt es sich Þ | |
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Die Dichten nMet der Ladungsträger in Metallen n
Met und Isolatoren nIso sind von der Größenordnung her bekannt: Ungefähr
Dichte Atome bzw um Null. | |
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Es bleibt, die Beweglichkeit m zu bestimmen |
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Bei Halbleitern ist nHalb noch nicht klar, hier brauchen wir nHalb
und mHalb. |
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Eine relativ simple Betrachtung des Herumwuselns von Elektronen in Kristallen
ergibt folgende Beziehungen: | |
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Stöße zwischen Elektronen und den den Haupstoßpartner "Phononen"
= Träger der thermischen Energie = anderes Wort für (quantisierte) Gitterschwingungen und Kristallgitterdefekten
(Fremdatomen, Korngrenzen, Versetzungen, Ausscheidungen, ...) sorgen für eine im Mittel konstante Driftgeschwindigkeit. |
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Charakteristische Parameter dazu sind die (mittlere) Stoßzeit
t und die mittlere freie Weglänge
l = vt. | |
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Die Beweglichkeit ist dann direkt gegeben (d.h. proportional) zu l = vt
oder t. (Formel muss man nicht wissen). |
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Die Temperatur bestimmt klassisch sowohl v
(über ½mv2 = 3/2 kBT) als auch (über Stöße mit "Phononen")
zum Teil die Beweglichkeit. | |
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Für eine gegebene Elektronendichte (z. B. typisches Metall) und eine gemessene Leitfähigkeit
kann man damit alle Größen ausrechnen, aber Þ |
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Elektronen können nicht mit beliebigen Geschwindigkeiten
= Energie = Zuständen existieren; sie können z. B. nicht alle bei T = 0 K bewegungslos sein. |
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Der Gleichverteilungssatz gilt nicht
für Fermionen! |
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Trotzdem behalten alle obigen Formeln außer
½mv2 = 3/2 kBT auch in der nachfolgenden "richtigen" Betrachung ihre
Bedeutung – wir müssen nur die Geschwindigkeit richtig bestimmen. |
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Die Elektronenzustände im Metall (Kristall!) formen ein "Band"
wie bereits bekannt und hier nochmal gezeigt. | |
Zustandsdichte D(E) · dE = Zahl der Zustände
bei E im Intervall dE
pro cm3 |
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Von Interesse sind die möglichen Energieniveaus im Band (= richtige
Energie der herumwuselnden Elektronen). Das wird am einfachsten durch den neuen Begriff Zustandsdichte
erfaßt. | |
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Entscheidend ist, welche Zustände mit Elektronen besetzt sind. Das regelt die (bereits
bekannte) Fermi-Verteilung. |
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Nur Elektronen im "Aufweichungsbereich"
der Fermiverteilung sind "handlungsfähig", d. h. nur sie können auf elektrische Felder durch Zustandsänderung
reagieren. | |
Die Bandstruktur der Elektronen
in einem Kristall, d. h. D(E),
bestimmt die elektronischen Eigenschaften!
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In anderen Bereichen gibt es entweder keine Elektronen (z. B. hohe Energie) oder sie haben
keine freien Plätze in der Nachbarschaft (kleine Energiedifferenz), auf die sich "ändern" könnten. |
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Damit folgt eine weitreichende Aussage Þ |
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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)
