5.4.2 Was man wissen muss

	Begriffe wie System, Ensemble – mindestens die drei Beispiele (Gas, Kritall-Atome; Kristall-Elektronen) sollte man nachvollziehen können.
	Den Begriff des thermodynamischen Gleichgewichts.
		Einmal qualtitativ (nichts ändert sich mehr, es können keine Ströme vorliegen,...)
		Einmal quantitativ: System ist im absoluten Minimim der freien Energie G = U – TS.
	Gleichverteilungssatz : UFreiheitsgrad = ½kBT pro Freiheitsgrad – unabhängig von der Art des Freiheitsgrades (Translation, Rotation, Schwingung).
		Ungefähre Vorstellung, was f = Freiheitsgradanzahl bedeutet (Beispiel Gasmolekül oder Kristallatom).
		Konkrete Vorstellung, was innere Energie U bedeutet.
		Definition der Temperatur T anhand von UTeilchen = ½fk BT (mittlere innere Energie pro Teilchen).
	1. Hauptsatz = Energieerhaltungssatz ("es gibt kein Perpetuum mobile").
		Standardformulierung D U = Q  –  W ist Bilanzgleichung (Änderung "Energiekontostand"=Differenz "Wärme rein minus Arbeit raus").
		1. Hauptsatz regelt nicht, welcher Mikrozustand wirklich vorliegt.
		Gefühl für Makro - und Mikrozustände: Beispiel n Leerstellen (Index V = "vacancy") in N-Atom-Kristall. Makrozustand = Wertepaar n, N oder c V = n/N. Mikrozustand  = jede konkrete Anordnung mit cV (Leerstelle Nr.1 auf Platz 17, ...).
	Begriff der Entropie als Maß der Unordnung mit Definitionsgleichung
	Si  =  kB · ln pi
		Dabei ist pi = Zahl der Mikrozustände zum selben Makrozustand i. Im Zweifel Leerstellenbeispiel anschauen.
		Zum Rechnen braucht man Stirlingformel lnx! » x · lnx.
	Begriff der freien Energie G =  U – TS und das zugehörige Minimumprinzip für Gleichgewicht (muss sitzen!)
		Beispiel der steigenden Leerstellenkonzentration mit T und Beispiel "Schmelzen" muss (qualititativ) gekonnt werden.
	Formulierungen des 2. Hauptsatzes sollte man der Spur nach kennen:
		Im thermodynamischen Gleichgewicht hat ein System eine möglichst große Entropie. Die Entropie eines abgeschlossenen Systems wird nie von alleine kleiner. dG £ 0 für "selbstablaufende" Prozesse. (Es gibt kein Perpetuum Mobile der 2. Art.)
	Die Berechnung der Leerstellenkonzentration als Beispiel für den Umgang mit 2. Haupsatz, Entropieforrmel und freier Energie - mit der offensichtlichen Übertragbarkeit auf alles mögliche (Zwischengitteratome, Fremdatome, ...).

	Die Abstraktion von System = irgendwie gegebenes Energieschema ist essentiell.
	"Irgendwie" gegebenes Energieschema heißt:
		Mein System hat auf einer Energieskala bei der Energie E [genauer: im Energieintervall (E, E + DE)] eine definierte Anzahl (genauer Dichte D = Zahl pro cm3) an Plätzen für die Teilchen des Systems.
		Damit kommt man zum Schlüsselbegriff der Zustandsdichte D(E) = D n/DE = dN/dE. Das ist immer eine sinnvolle Größe, da selbst in rein quantenmechanischen Systemen, in denen die Energieniveaus diskret sind, diese für große Systeme (z. B. sichtbarer Kristall) immer so dicht zusammenliegen, dass sie als Kontinuum beschrieben werden können.
		In diesem Zusammenhang unbedingt die Entstehung der Energiebänder aus den diskreten Niveaus der Atome rekapitulieren und verinnerlichen.
	Die zentrale Beziehung ist:
		n(E)  =  Zustandsdichte mal Wahrscheinlichkeit der Besetzung mal Energieintervall        =  D(E) · w(E) · DE
	Was man unbedingt wissen muss: w(E) heißt Verteilungsfunktion; es gibt genau zwei Verteilungsfunktionen für alles in diesem Universum: Die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion für Bosonen . Die Fermi- Dirac-Verteilungsfunktion für Fermionen.
		Das ist so, da sich wg. des Pauli-Prinzips Fermionen ganz anders auf vorhandene Plätze verteilen als Bosonen. Im Zweifel überlegen, was bei T = 0 K passieren würde.
	Wichtig ist zu verstehen, dass beide Verteilungsfunktionen für große Energien (d. h. Energien mehrere kBT oberhalb der des Grundniveaus bzw. der Fermienergie) durch die klassiche Boltzmannverteilung N(E)/N( E0) = exp[–DE/(kBT )] angenähert werden können.
		Dieses Bild zur Fermiverteilung muß man verinnerlicht haben:
		Die wesentlichen Eigenschaften der Ferrmiverteilung f(E; EF, T) muß man verstanden und verinnerlicht haben: Kurvenform als Funktion der Temperatur, Größe des Aufweichungsintervalls, Fermienergie EF aus f( E = E F) = ½, Wahrscheinlichkeit für Nichtbesetzung = 1 – f(E; EF, T ).

	Zahlen und Formeln
	Unbedingt erforderlich:
		Anmerkung: In der Regel reichen "Zehner"-Zahlen. Genauere Werte sind in Klammern gegeben.
		Zahlen neu Größe   Zehnerwert Besserer Wert         Avogadrokonstante  »  1024 mol–1 6 · 1023 mol–1 Zahlen alt Größe   Zehnerwert Besserer Wert         Bildungs- und Wanderungs- energie Leerstelle  »  1 eV ca. (0,5 . . . 5) eV         (kBT )RT  »  1/40 eV = 0,025 eV         Typische Gitterkonstante a  »  1 Å = 0,1 nm 2 Å . . . 5 Å         Größe eines Atoms (Durchmesser)   »  1 Å = 0,1 nm 1 Å . . . 3 Å         Photonenenergie (sichtbares) Licht  »  1 eV (1,6 . . . 3,3) eV         Schwingungsfrequenz Atome im Kristall  »  1013 Hz   Formeln neu     Entropie S Si  =  kB · ln pi     Freie Energie G G  =  U – TS     Stirling-Formel ln x!   »   x · ln x     Dichte Teilchen bei E (w(E ): Besetzungswahrscheinlichkeit) n(E) = D(E) · w(E) · dE     Boltzmann-Näherung an Fermiverteilung f(E ) für E – EF >> kBT f(E)  »  exp ( – E – EF kBT )     Innere Energie pro Freiheitsgrad (Gleichverteilungssatz; einzelnes Teilchen) UFreiheitsgrad  =  ½kBT Formeln alt     Boltzmannfaktor (Wahrscheinlichkeit für E) exp[–E /(kBT)]     Boltzmannverteilung (E0: Grundzustandsenergie) n(E) n(E0)  =  exp( – E – E0 kBT )     Leerstellenkonzentration (EVF: Bildungsenergie) cV  =  exp[– EVF/(kBT )]     Sprungrate r atomarer Defekte (EM: Wanderungsenergie) r  =  n0 · exp[– EM/(kBT)]     Diffusionsstromdichte jDiff (Vektor!) jDiff  =  –D Ñn     Diffusionslänge L L  =  (Dt)½     Coulombpotential UCou  =  e2 4p · e0 · r     Beziehung Kraft F(r) — Potential U(r) F( r)  =  – ÑU( r)     Mech. Spannung s, Dehnung e, E-Modul E s  =  F A e  =  l(s)  –  l0 l0 E  =  ds de     Mittlere thermische Energie eines klassischen Teilchens (innere Energie; Def. der Temperatur) UTeilchen  =  ½fkBT (f: Anzahl der Freiheitsgrade)     Thermische Energie (Größenordnung von UTeilchen) Etherm  =  kBT (UTeilchen  »  kBT )

© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)