Lösung zur Übung 2.4-1

	1. Wie groß ist der mittlere Abstand lD zwischen Defekten mit der Konzentration c?
	Die erste Frage ist schnell beantwortet:
		Wir haben im Mittel einen Defekt in einem Volumen der Größe (lD)3, d.h.
		c  =    1 lD3 lD  =  æ ç è 1 c ö ÷ ø 1/3
		Eine Konzentration von 1 ppm = 10– 6 entspricht in Si beispielsweise der Volumenkonzentration » 5 · 1016 cm– 3. Der mittlere Abstand ist also
		lD(1ppm, Si)  =  æ ç è 1 5 · 1016 ö ÷ ø 1/3   cm    »   2,5 · 10– 6  cm    =  25 nm
		Selbst in ultrasauberem Si mit c = 5 · 1013 cm– 3 trifft man als noch in einem mittlerem Abstand von 250 nm auf einen Defekt.

	2. Wie groß ist die Oberflächenkonzentration der Defekte, d.h. wieviele findet man auf einer Kristallebene, die man "herausschneidet".
	Die Lösung zu der zweiten Frage finden sich bereits im Hyperskript "MaWi I"
	3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft ein in einem Kristall herumvagabundierendes Teilchen auf einen der in der Konzentration c vorliegenden Defekte?
	Die dritte Frage ist im Hyperskript "Semiconductors" beantwortet, wir wollen aber die Lösung hier anführen.

	Zunächst schreiben wir unserem Teilchen die (mittlere) Geschwindigkeit v und einen Wirkungsquerschnitt s zu.
		Damit "tastet" unser Teilchen in der Zeit t ein Volumen V ab, das gegeben ist durch das Volumens des durchfahrenen "Schlauchs"
		V  =  v · t · s
		In diesem Volumen findet es N Defekte die mit der Konzentration c (in cm – 3) vorliegen, es gilt also
		N  = c · V  =  c · v · t · s
		Damit wird die Rate R, mit der es einen Stoß durchführen wird, gegeben durch
		R  =  N t  = c · v · s
		1/R ist dann natürlich die mittlere Zeit, die zwischen zwei Stößen vergeht (also 2t in unserer Nomenklatur).
	Man kann jetzt natürlich auch ausrechnen, wie weit es im Mittel zwischen zwei Stößen kommt, also die mittlere freie Weglänge l. Wir haben einfach
		l  = v · 2t  =  v R  = 1 c · s
		Das ist schon bemerkenswert, da man eigentlich leicht geneigt ist anzunehmen, daß die mittlere freie Weglänge zum mittleren Abstand der Defekt proportional sein sollte, also zu c– 1/3 - was, wie gesagt, ziemlich falsch wäre.

Mit Frame

Übung 2.4-1 Defekte und mittlere freie Weglänge

© H. Föll (MaWi 2 Skript)