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Vorbemerkungen: Hier sind absichtlich keine Links gesetzt.
Wer hier etwas nicht sofort versteht, tut gut daran selbst aktiv zu suchen! |
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Aus dem Potentialtopfmodell des Einzelatoms ergibt sich das periodische
Potential des Kristalls. |
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Mit diesem Potential wäre eigentlich die Schrödingergleichung für
die (sehr vielen) Elektronen des Systems zu lösen - in der Praxis ist das aber nicht möglich. |
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Wir machen die brutalstmögliche Näherung, die Näherung (= das Modell)
des freien Elektronengases. |
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Nur ein Elektron; Potential V =
const = 0 im Kristall der Länge L. |
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Periodische Randbedingungen: y(x
+ L, y + L, z + L) = y(x, y, z). |
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Damit haben wir nur noch eine rein mathematische Aufgabe. Die Differentialgleichung
für y ist vollständig lösbar, insgesamt haben wir |
| Schrödingergleichung |
Lösung |
| – |
 2
2me |
· |
d2y(x)
dx2 |
+ V(x) · y(x) |
= |
E · y(x) |
| V |
= | 0 |
innerhalb L |
| ¥ |
sonst |
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| y(r) | = |
æ
ç
è |
1
L |
ö
÷
ø | 3/2 |
· exp | (i · k · r) |
| kx = ± |
ny · 2p
L |
| ky = ± |
ny · 2p
L |
| kz = ± |
nz · 2p
L |
| ni = |
0, ± 1, ± 2, ± 3, ..... |
| Enx, ny,
nz | = |
2 · k2
2me |
= |
2
2me |
· |
æ
ç
è |
2 p
L |
ö
÷
ø |
2 | · |
æ
è |
nx2 + ny2 + nz2
| ö
ø |
| | Randbedingungen |
| y(x) | = |
y(x + L) | | |
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| y(y) | = |
y(y + L) | | |
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| y(z) | = |
y(z + L) |
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| L = Länge des Potentialtopfes (= Kristall), k = Wellenvektor,
ni = Quantenzahlen, E = Gesamtenergie = kin. Energie für V = 0 |
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Was bedeuten diese Formeln? Eine erste ziemlich befremdliche Erkenntnis ist: |
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Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektrons, gegeben
durch y · y* ist konstant - das Elektron ist "ausgeschmiert", es ist überall im Modellkristall mit derselben Wahrscheinlichkeit zu
finden. |
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Die zweite Erkenntnis ist: Die entscheidende Größe ist der Wellenvektor
k. Er enthält die wesentliche Information über das System in etwas codierter, aber durch
Vergleich mit klassischen oder mathematischen Strukturen leicht faßlichen Form. Im einzelnen gilt: |
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Der Wellenvektor ist eine Art vektorielle Quantenzahl
des Systems, d.h. er "numeriert" die ¥ vielen Lösungen. Ein spezifischer
Wellenvektor sondert eine spezifische Lösung aus, er beschreibt damit einen der
möglichen Zustände des System. |
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Der Wellenvektor bestimmt den Impuls
p des Elektrons; es gilt p = · k. Der Impuls ist gequantelt - es gibt
zwar ¥ viel mögliche Impulse, aber halt nicht alle
denkbaren (wie bei den ¥ vielen möglichen Lösungen desselben Problems
in klassischer Behandlung). |
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Der Wellenvektor bestimmt die Gesamtenergie des System;
es gilt E µ k2. |
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Der Wellenvektor hat die Funktion einer reziproken Wellenlänge
l; es gilt k = 2p/l |
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Die letzte Beziehung folgt direkt aus der Struktur der Lösung. y
µ exp(i · k · r) beschreibt eine Welle
(über exp(i · k · r) = cos(k · r) +
i · sin(k · r). Führt man eine Wellenlänge ein, muß gelten
sin(kx · x) = sin(2p· x /l).
Damit ist auch die de Broglie Formel in der Lösung direkt enthalten. |
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Zur Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung kommt man immer
durch Multiplikation der Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
mit dem Phasenfaktor exp–(iw · t) (mit w
gegeben aus E = w); man erhält damit die allgemeine Struktur einer laufenden ebenen Welle: |
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| y(r, t) µ
exp(i (k r – w t)) |
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Die Energie ist bezüglich mancher Quantenzahlen entartet.
Alle Kombinationen mit identischen k2 haben dieselbe Energie. |
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Eine Zustandsdichte D(E) = Dichte der Zustände pro Energieintervall
und Volumen ist definierbar und kann ausgerechnet werden - durch Abzählen, oder eleganter durch Volumenbetrachtungen
im Zustandsraum, auch Phasenraum genannt. . Der
Zustandsraum ist der Raum der von den Wellenvektoren aufgespannt wird; die möglichen Zustände bilden ein (kub.
primitives) Gitter. |
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Es ergibt sich eine "Wurzel"beziehung: |
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| D(E) = |
(2 · m)3/2
2 · 3 · p2 |
· E 1/2 |
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Hat man die verfügbaren Zustände für Elektronen, kann man die vorhanden
Elektronen auf diese Zustände verteilen - wie beim Atommodell. |
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Bei T = 0 K spielt die Entropie keine Rolle, es wird nur die Energie minimiert.
d.h. die Zustände werden "von unten kommend" sukzessive gefüllt, bis bei einer definiertenEnergie EF
das letzt Elektron untergebracht ist. |
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Diese Energie wird sich als ein zentraler Materialparameter entpuppen; sie heißt Fermienergie. |
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Für eine gegebene (Volumen)dichte der Elektronen ne
kann man die Fermienergie ausrechnen und erhält |
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| EF | = |
2
2me |
æ
ç
è |
3p2 · ne |
ö
÷
ø | 2/3 |
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Zur Fermienergie kann man weiterhin eine Fermitemperatur TF und einen
Fermiimpuls pF = · kF bzw. Fermiwellenvektor kF
definieren über die Beziehungen: |
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| EF | = |
· kF2
2me |
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© H. Föll (MaWi 2 Skript)
