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Ein froher Mut beim Postulieren
wichtiger Gesetze ist ja was schönes, eine belastbare Herleitung ist aber im Zweifelsfall noch schöner.
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Schauen wir also mal, wie sich die mittlere freie Weglänge l
bei Vorliegen mehrerer unabhängiger Stoßprozesse darstellt. |
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Beispielsweise könnten in einem Material zwei verschiedene Verunreinigungen der Sorte
1 und 2 vorliegen, die jede für sich die mittlere freie Weglänge l
1 bzw. l 2 verursacht. |
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Wie läuft das insgesamt? Am einfachsten macht man sich das klar, indem man
irgendeinen insgesamt zurückgelegten Weg L anschaut. |
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Nachdem das Teilchen diesen Weg L zurückgelegt hat, hat es (immer im Mittel,
natürlich)
L/l 1 Stöße mit Verunreinigung 1,
L/l
2 Stöße mit Verunreinigung 2
durchgeführt. |
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Die Gesamtzahl P der Stöße ist damit |
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| P | = | L
l
1 | + | L
l 2 |
:= | L
l
eff |
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Wir können also leicht eine effektive freie Weglänge l
eff definieren, die eine Art Mittelwert der individuellen freien Weglängen darstellt. Wir
haben also (gleich verallgemeinert) |
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1
leff | = |
1
l1 | + |
1
l2 | + | ... = |
S
i | |
1
li |
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In unserer Widerstandsformel
(Für r = 1/s formuliert) steht natürlich im Zweifel
die effektive freie Weglänge, denn nur die Gesamtzahl der Stöße ist
für den Widerstand entscheidend. Setzen wir die Formel für leff ein, erhalten wir |
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| r = |
me · vF
n · e2 · leff | = |
me · vF
n · e2 |
· | æ
ç
è |
1
l1 | + |
1
l2 | + | .... |
ö
÷
ø | = |
r1 + r2 + ... |
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Damit ist gezeigt, daß man die aus verschiedenen
Stoßprozessen resultierenden Teilwiderstände tatsächlich einfach aufaddieren darf. |
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Im Nachtrag machen wir uns noch schnell (selber) klar, daß exakt die gleich
Beziehung für die effektive Beweglichkeit
µeff und die effektive mittlere Stoßzeit teff zwischen Stößen
gelten muß, d.h. |
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1
µeff | = |
1
µ1 | + |
1
µ2 | + | |
... |
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1
teff |
= | 1
t1 | + | 1
t2 | + | | ... |
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© H. Föll (MaWi 2 Skript)
2.4.2 Elektrische Leitfaehigkeit des freien Elektronengases 
Mit Frame