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Wir basteln ein Banddiagramm |
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Im vorhergehenden Modul haben wir uns klargemacht, wie die E(
k)-Kurven eines realen Kristalls prinzipiell
aussehen. |
|  | Jetzt möchen wir aber
wissen, wie sie wirklich aussehen. Dazu fließen
einige prinzipielle Erkenntnisse ein, die von den Festkörperphysikern mit harten Rechnungen
bzw. mühsamen Messungen erarbeitet wurden. |
|  | Was damit gemeint ist, sehen wir sofort, wenn wir einfach unsere "Prinzipkurve"
und die reale Kurve eines realen Kristalls einander gegenüberstellen: |
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Aha: Im Grunde brauchen wir nur zwei, "irgendwie"
auch ohne lange Rechnung verständliche Verallgemeinerungen! |
| 1. Die Größe
der Aufspaltung, d. h. die Breite der Energielücke,
ist kristall- und richtungsspezifisch. Das ist im linken Ast für die Kurve in der 1.
BZ angedeutet. |
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Das heißt z. B., daß die Energielücke in der {100}-Richtung des Si
verschieden sein wird von der im Ge oder im GaAs oder ... (immer im reziproken
Gitter natürlich). |
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Es heißt auch, daß die Energielücke in der {100}-Richtung des Si
verschieden sein wird von der Energielücke in der {111}-Richtung des Si
(oder der {110}-Richtung oder der {hkl}-Richtung). Allerdings sind natürlich
Kristallsymmetrien gewahrt, d. h. die geschweiften Klammern
sind absichtlich gesetzt. |
| 2. Der genaue Verlauf der E(k)-Kurve
kann sich kräftig von der einfachen Parabel des freien Elektronengases unterscheiden.
Das ist im rechten Ast für die Kurve in der 2. BZ angedeutet. |
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Insbesondere muß das Minimum oder Maximum
des Energiewertes für irgendeinen Zweig, so wie im rechten Ast gezeigt, nicht unbedingt
auf dem Rand einer BZ liegen. Das wird weitreichende Konsequenzen
haben! |
 | Unterstellen
wir einfach, daß die richtigen Kurven für einen gegebenen Kristall in allen Details
bekannt sind, dann haben wir alles, was wir brauchen. Das Problem ist nur: Viele Kurven in
all diese Richtungen – es wird äußerst unübersichtlich! |
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Wir gehen deshalb zu einer stark vereinfachten Darstellung
der Energien von Kristallelektronen über: Wir betrachten nur noch, welche Energiewerte
erlaubt und welche verboten sind – und das ganz und gar unabhängig von der Richtung
im reziproken Raum. Das Ergebnis ist dann ein Banddiagramm. |
|  | Wie
man vorgeht, ist im nächsten Bild schematisch gezeigt: |
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 | Wir projizieren einfach alle
erlaubten Energiewerte für alle Richtungen auf die
Energieachse und unterscheiden nur zwischen "erlaubten" und "nicht erlaubten"
Energiebereichen. |
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 | Gezeigt ist zwar nur die Projektion von
zwei Ästen der Dispersionskurve, die zwei Teilbänder
ergeben; wir können die Vorgehensweise aber natürlich "leicht" auf
alle Äste ausdehnen. Die dadurch erhaltenen "Bänder" aller
möglichen Energiewerte geben dem Diagramm den Namen: Es heißt Banddiagramm.
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|  | Die
Energielücke ist prominent zu sehen, wir nennen sie ab jetzt auch Bandlücke
(bzw. im Laborslang auch "Bandgap"). |
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Es gibt zwar nach wir vor zu jeder beliebigen herausgegriffen
Energie (mehrere) bestimmte k-Werte, aber die interessieren uns nicht
mehr im Detail; wir merken uns lediglich die Tatsache an sich, daß es sie gibt. |
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Da wir das Banddiagramm als stark vereinfachte Darstellung der Gesamtheit der E(k
)-Kurven betrachten, steht an der x-Achse keine Achsenbezeichnung, da sie keinerlei
Information mehr enthält. (Das in der Zeichnung oben angegebene "alle k"
ist rein symbolisch zu verstehen!) |
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Wir können sogar einen Schritt weitergehen und z. B. auch
" x" oder "z" oder <110> an die
Abszisse schreiben, d. h. eine Darstellung der erlaubten Energien im
Ortsraum wählen – das Banddiagramm sieht weiterhin genauso aus. (Davon
werden wir später bei der Beschreibung einer Diode oder anderer Bauelemente viel Gebrauch
machen!) |
|  | Wir
können es leicht wieder etwas komplizierter (aber damit auch aussagekräftiger) machen
und die Abszisse für die Zustandsdichte
D(E) nutzen. Auf die Details gehen wir hier nicht weiter ein, sondern
nehmen einfach nur (ohne weitere Erläuterung; die gibt's im nächsten Unterkapitel)
schon mal das Ergebnis an einem konkreten Beispiel (Germanium) zur Kenntnis: |
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|  | Aufpassen: Wir
haben es bei der Zustandsdichte D(E) zwar mit einer Funktion "D
von E" zu tun, in der hiesigen Darstellung sind aber die Achsen absichtlich vertauscht
– die Funktionswerte D sind auf der Abszisse, die Werte der Variablen
E , von der sie abhängen, auf der Ordinate zu finden. |
|  | Auf diese Art
der Darstellung von Funktionen, die von der Energe abhängen, werden wir im Zusammenhang
mit dem Banddiagramm übrigens noch öfters stoßen; wir tun gut daran, uns an
die zugehörige Denkweise zu gewöhnen, denn wir werden sie später selber verwenden
– in einer sehr wichtigen Übungsaufgabe. |
 | In
Form der Zustandsdichte "überlebt" immerhin ein Teil der Eigenschaften der
E(k)-Kurven die Vereinfachung der Bandstruktur zum Banddiagramm.
Aber auch die Details der Zustandsdichte interessieren uns nur selten; wir merken uns lediglich
die Tatsache an sich, daß es sie gibt. |
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Ein Detail der Zustandsdichte ist allerdings sehr wichtig: In
der Bandlücke des idealen Kristalls ist die Zustandsdichte per definitionem =
0. |
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Das läßt sich aber durch gezielte Abweichungen von der Idealität gezielt ändern,
wie wir später noch sehen werden! |
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Energieerhaltung
beim Band-Band-Übergang |
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 | Wir betrachten
jetzt nur noch Halbleiter . Sie unterscheiden sich von
Isolatoren zunächst nur durch die Möglichkeit,
daß die bei Raumtemperatur verfügbare thermische Energie (kBT)RT
» 1/40 eV ausreicht, um einigen wenigen Elektronen den
Sprung vom (vollen) Valenzband ins (leere) Leitungsband zu ermöglichen. |
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Der Übergang von Elektronen vom Valenzband
ins Leitungsband sowie der umgekehrte Prozeß, der Übergang von Elektronen im Leitungsband
zu freien Plätzen im Valenzband, sogenannte Band-Band-Übergänge
, sind also unmittelbar verantwortlich für die elektrische Leitfähigkeit der
Halbleiter. Wir müssen sie etwas näher betrachten. |
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Jeder solcher Übergang bedeutet einen Wechsel
von einem Zustand mit einem Wellenvektor k 1 zu einem neuen
Zustand mit einem Wellenvektor k2. Dabei ändern sich
Energie und Impuls
des Elektrons. |
|  | Da
aber der Energie- und der Impulserhaltungssatz auch in der Quantentheorie gelten, müssen
wir uns mit den damit verbunden Konsequenzen beschäftigen. |
 | Wir betrachten zunächst den Energieerhaltungssatz
. Der Klarheit halber nehmen wir Photonen, also Licht,
mit der eindeutig definierten Energie EPhoton = h · n
, um Elektronen aus dem Valenz- ins Leitungsband zu lupfen. |
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Das Photon trifft ein Elektron
irgend"wo" im Valenzband unseres Halbleiters. Das "wo" bezieht sich dabei
sowohl auf den Ort im Ortsraum als auch im k-Raum. In der folgenden Zeichnung
hat das "getroffene" Elektron den Zustand k; damit ist alles
über den Zustand "vorher" gesagt: |
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 | Für den Zustand "danach" gibt es nun zwei Möglichkeiten:
1.) Die Energie des Photons reicht aus, um das Elektron mindestens bis
zur Unterkante des nächsthöheren Bandes zu heben. 2.) Die Energie des
Photons reicht dafür nicht aus. |
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Eine weitere Möglichkeit gibt es nicht, da das untere Band
das Valenzband und also komplett gefüllt ist; freie Plätze stehen nur im oberen
Band (dem Leitungsband) zur Verfügung. |
 | Zur ersten Möglichkeit: Falls die Photonenenergie groß genug
ist, um das Elektron mindestens bis zur Unterkante des nächsthöheren Bandes zu heben,
wird das mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch passieren. |
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Im obigen E(k)-Diagramm gibt
es aber bei der Energie hn über dem Start-Zustand k gar keinen Zustand; wir müssen das Elektron
also in den energetisch passenden Zustand in der 2. BZ "transferieren"
(roter Pfeil nach rechts). Dadurch hat das Elektron dann einen anderen (größeren)
Wellenvektor. |
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Das Elektron "sitzt" also nun im Zustand k'1
im sonst leeren Leitungsband. Da es nun für unser Elektron jede Menge freie
Plätze bei kleineren Energien gibt, wird es nicht lange auf seinem ersten Platz bleiben,
sondern sich von Platz zu Platz "nach unten" sinken lassen, bis es das Energieminimum
des Leitungsbandes bei k'2 erreicht
hat; angedeutet durch die kleinen roten Pfeile nach unten. |
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Die Überschußenergie geht dabei portionsweise
ins Gitter, d. h. der Kristall wird ein bißchen wärmer. In der Zeichnung ist das
formal-abstrakt so dargestellt, daß das hinunterhüpfende Elektron Phononen
emittiert. (Phononen sind die Teilchen, die quantisierten Gitterschwingungen entsprechen –
analog zu den Photonen als Lichtteilchen.) |
|  | Dieser Prozeß heißt Thermalisierung. Er erfolgt sehr schnell –
in 10–13 bis 10–11 Sekunden ist alles vorbei. |
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Zur zweiten Möglichkeit: Falls die Photonenenergie
nicht groß genug ist, um das Elektron mindestens bis zur Unterkante des nächsthöheren
Bandes zu heben, passiert nichts! Und das ist eine sehr wichtige Aussage! |
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Denn das bedeutet, daß es für hn < EG keine
Absorption des Photons geben kann. Für Photonen mit kleinerer Energie als die der Bandlücke
ist der (perfekte) Kristall komplett durchsichtig ! |
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Es sind also auch fundamentale optische Eigenschaften im Banddiagramm
enthalten! |
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Die Darstellung im Banddiagramm rechts ist natürlich
wieder viel einfacher, weil wir uns nicht um die k-Werte kümmern.
Dafür können wir hier eine andere wichtige Sache einfacher wiedergeben als im E(
k)-Diagramm: Das ins Leitungsband transferierte Elektron hinterläßt
einen unbesetzten Platz im Valenzband, ein "Loch"; es ist als kleines blaues Quadrat eingezeichnet. |
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Das Loch ist der einzige freie Platz, auf den das Elektron aus
dem Leitungsband zurück ins Valenzband springen könnte. Weil aber auf diesen freien
Platz sehr leicht auch die anderen Elektronen im Valenzband springen können, die energetisch
höher sitzen als das Loch, rückt das Loch ziemlich fix an die Oberkante des Valenzbandes. |
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Das geschieht sehr schnell – denn auch hier geht es um
Thermalisierung. Weiter unten (und in den folgenden Abschnitten) mehr zu den Löchern,
jetzt wir müssen uns erst noch um folgendes Thema kümmern: |
| Impulserhaltung beim Band-Band-Übergang |
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Wir müssen nun den Impuls des
Systems vorher und nachher
betrachten. Das ist erheblich schwieriger als die Betrachtung der Energie, da der quantenmechanische
Impuls von Photon, Kristall und Elektron nicht so unmittelbar klar ist wie die Energie. |
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Wir müssen hier etwas an der Oberfläche bleiben und
werden einige "Dinge" einfach postulieren. Trotzdem läßt sich eine wichtige Beziehung leicht verständlich machen: |
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In der Quantenmechanik ist der Impuls immer
gegeben durch |
| | Impuls | = p
= · k |
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|  | Das
gilt für Elektronen, Photonen und Phononen. Da die Wellenlängen von (Licht-)Photonen
immer sehr viel gößer sind als die der Elektronen und Phononen (l
von Photonen liegt im Bereich von 1 µm, bei Elektronen und den hier wichtigen
Phononen eher im nm-Bereich), ist ihr Wellenvektor entsprechend viel kleiner. Damit können wir den Impuls der Photonen in 1. Näherung schlicht
komplett vernachlässigen . |
|  | Zum
Merken: |
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Photonen haben Energie, aber kaum Impuls. Phononen haben Impuls, aber kaum Energie. Elektronen haben Impuls und
Energie. | | |
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Es geht damit nur noch um den Impuls des Elektrons
"vorher" (im Valenzband; Wellenvektor k) und "nachher"
(im Leitungsband; Wellenvektor k'). |
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Für den Unterschied schreiben wir D
p, die Differenz des Impulses nachher minus dem vorher. Wir haben: |
| | D p
= | ·
(k' – k) |
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|  | Diese Differenz ist auf jeden Fall nicht null, und das ist ein Problem,
denn der Impulserhaltungssatz sagt, daß diese Impulsdifferenz exakt ausgeglichen werden
muß – und das bedeutet, daß der Impulserhaltungssatz für das Elektron
ohne dritten Partner (der sich um diese Impulsdifferenz
kümmert) nicht zu erfüllen ist. |
|  | Das Besondere an dieser Situation ist zudem, daß
im perfekten Kristall auch der Impulserhaltungssatz von der Perfektheit des Kristalls beeinflußt
ist; ohne weitere Herleitung nehmen wir zur Kenntnis, daß der Impulserhaltungssatz
im Kristall lautet: |
| | k'
– k = G G
= reziproker Gittervektor | |
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Das sollte uns nun sehr bekannt vorkommen. Es ist
die gute alte Bragg-Bedingung – mit einer Verallgemeinerung:
|k| = |k'| braucht nicht mehr erfüllt zu sein!
Wir lassen jetzt auch inelastische Streuung zu.
Das ist nun wirklich einfach, hat aber einschneidende Konsequenzen! |
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Reduziertes Banddiagramm |
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 | Wenn
wir die Darstellung des Band-Band-Übergangs im E(k)-Diagramm
oben wieder betrachten, bedeutet Impulserhaltung nun, daß
der nach rechts weisende rote Pfeil entweder die Länge null oder die
Länge eines reziproken Gittervektors haben muß. |
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Das hat er aber sicher nicht, denn in der Zeichnung
wäre der kürzestmögliche reziproke Gittervektor so lang wie beide Brillouinzonen
zusammen – man erinnere sich, daß die Ränder der Brillouinzonen in etwa bei
der Hälfte der reziproken Gittervektoren liegen! |
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Die Konsequenz ist einfach: Der
oben gezeichnete Band-Band-Übergang kann gar nicht stattfinden,
denn er verletzt den Kristallimpulserhaltungssatz! |
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Um Energie- und
Kristallimpulserhaltung gleichzeitig zu erfüllen, müßten wir also im
E (k)- Diagramm solange mit zwei
vorgegeben Strecken (den beiden roten Pfeilen) an der Dispersionskurve rauf- und runterfahren,
bis wir zwei k-Werte finden, bei denen alles paßt. Das tun wir
aber nicht, sondern wir lassen uns etwas einfallen, das die Arbeit sehr stark erleichtert. |
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Die E(k)-Diagramme
lassen sich sehr viel platzsparender zeichnen, wenn man eine kleine Vereinbarung bezüglich
eines zeichentechnischen "Tricks" trifft: Wir malen alle Zweige der E(k
)-Kurven der diversen Brillouin-Zonen in die 1. Brillouin-Zone. Man weiß
ja, zu welcher BZ irgendein Ast gehört – man muß nur von unten kommend
abzählen. |
|  | Praktisch
geht das ganz einfach: Wir verschieben jeden Ast solange um reziproke Gittervektoren nach
innen, bis er in die 1. BZ fällt. Das sieht so aus: |
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|  | Diese "Sparversion" der E(k)-Kurven heißt
reduzierte Darstellung oder reduziertes Banddiagramm. (Es ist die allgemein übliche Form
des Banddiagramms, daher läßt man das "reduziert" in der Praxis wieder
weg.) |
 | Damit sparen
wir nicht nur eine Menge Platz, sondern die von Impuls- und Energieerhaltungssatz aus erlaubten Übergänge liegen jetzt einfach senkrecht übereinander
. |
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| |  | Das
ist leicht einzusehen: Jeder Übergang, der energetisch paßt, erfüllt automatisch
den Kristallimpulserhaltungssatz, denn die diversen Äste der E(k)-Kurve
unterscheiden sich ja genau durch einen reziproken Gittervektor. |
|  | Die Absorption
eines Photons sieht jetzt also so aus wie links dargestellt. Die Länge des Pfeils mit
der Energie hn muß nur noch an die passende Stelle
zwischen den zwei Ästen gezeichnet werden. |
 | Wir wollen diese Vereinbarung, für Band-Band-Übergänge
das reduzierte Bandschema zu verwenden, zukünftig
automatisch einhalten. (Dies ist im übrigen auch durch die harte Theorie zu rechtfertigen,
die unter der Bezeichnung "Bloch-Theorem" bekannt ist.) |
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Band-Band-Übergänge zeichnen wir zukünftig auch
im einfachen Banddiagramm nur noch senkrecht nach oben – und
nach unten. Denn alles, was wir bisher gelernt haben, gilt selbstverständlich
nicht nur für die Schaffung eines Elektron-Loch-Paares durch den Übergang eines
Elektrons vom Valenz- ins Leitungsband, sondern auch für die Rekombination, die Wiedervereinigung
von Elektron und Loch. |
|  | Versuchen wir, das im obigen Bild einzutragen, bekommen
wir ein Problem: Nach der Thermalisierung von Elektron und Loch sitzen sie im gezeichneten
Beispiel nicht mehr senkrecht übereinander! Ein Übergang
nach unten und damit Rekombination ist ohne Verletzung des Kristallimpulserhaltungssatzes
nicht möglich! |
| Direkte und indirekte Halbleiter |
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 | Der entscheidende Punkt ist, daß es in einem reduzierten Banddiagramm ganz
generell genau zwei Möglichkeiten für die Bandkanten gibt, durch welche die fundamentale
Bandlücke definiert wird: |
|  | 1.) Das Maximum des Valenzbandes sitzt im k-Raum
genau unter dem Minimum des Leitungsbandes. |
|  | 2.) Das Maximum des Valenzbandes und das Minimum des Leitungsbandes
liegen bei verschiedenen k-Werten. |
 | Wir schauen uns mal an, wie das (schematisch) in realen
Materialien aussieht: |
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|  | In der oberen
Reihe sind Minima und Maxima übereinander; wir nennen Materialien mit dieser Eigenschaft
direkte Halbleiter. Das freie Elektronengas als Referenz
gehört formal auch dazu. |
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Die untere Reihe zeigt indirekte Halbleiter (wir
zählen Diamant mal dazu, obwohl das eigentlich ein Isolator ist). Man beachte, daß
auch Germanium ein indirekter Halbleiter ist, denn Maximum und Minimum liegen eben nicht beim selbem k-Wert und lassen sich auch
nicht durch Addition oder Subtraktion von reziproken Gittervektoren untereinander bringen. |
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Wie kommt man darauf? Kann man denn einem Halbleiter
"ansehen", ob er eine direkte oder indirekte Bandlücke hat? |
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Im Prinzip ja: Man muß nur schauen, wie sich die Lichtabsorption
als Funktion der Frequenz bzw. Wellenlänge (d. h. der Farbe des Lichtes) verhält.
Setzt sie bei einer bestimmtem Frequenz bzw. Wellenlänge schlagartig und kräftig
ein, handelt es sich um einen direkten Halbleiter. Denn sobald h n
= EG, wird Absorption möglich. |
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In einem indirekten Halbleiter kann bei hn
= EG nicht kräftig absorbiert werden, denn es gibt bei dieser Energie
ja keine unmittelbare Impulserhaltung. Erst bei höheren Photonenenergien, die hn = Edirekt entsprechen, dem direkten Übergang
mit der kleinsten Energie, wird die Absorption kräftig einsetzen. Im Bereich zwischen
EG und Edirekt wird zwar auch absorbiert
(über einen "Umweg"), aber nur schwach. |
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Dieser Unterschied wirkt sich auf den Absorptionskoeffizienten
a aus; a ist definiert
über die exponentielle Abschwächung von Licht beim Durchdringen des Materials: Je
größer a, desto geringer die Eindringtiefe des
Lichtes. |
|  | Hier ein paar
Beispiele für Messungen (vor allem mit infrarotem Licht) der Wellenlängenabhängigkeit
von a bei einigen Materialien; man beachte die Form der
jeweiligen "Absorptionskante": |
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Si und Ge sind die einzigen indirekten Halbleiter
in diesem Diagramm, man sieht den weichen Einsatz der Absorption sehr deutlich. Beim Germanium
sieht man darüber hinaus den Einfluß der direkten Bandlücke, die bei etwas
höherer Energie liegt (siehe die obige Bandstruktur). |
 | Damit soll's erst mal genug sein; wir werden später auf dieses Thema zurückkommen.
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Zu diesem Abschnitt gibt es derzeit weder eine Übungsaufgabe noch schnelle Fragen.
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© H. Föll (MaWi für ET&IT
- Script)