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Im Banddiagramm läßt sich die Stromleitung,
d.h. der Transport elektrischer Ladungen von hier nach da, sehr gut und einleuchtend darstellen. |
|  | Um
elektrische Ströme zu erhalten, brauchen wir ein elektrisches
Feld E, bzw eine Spannung
U, bzw. eine Potentialdifferenz DV
zwischen hier und da. Falls wir "da" erden, ist DV
= U. |
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Wir ersparen uns hier den üblichen Krampf mit
den limitierten Buchstaben und benutzen den Buchstaben E auch für das elektrische
Feld - aber dann in Magenta! |
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Bleiben wir eindimensional wie auch sonst, haben
wir nun ein Stück Halbleiter mit verschiedenem elektrischem Potential bei x
= 0 und x = L. |
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Im Banddiagramm betrachten wir die Energie der Elektronen im
Kristall. Was bedeutet es, wenn jetzt ein elektrisches Potential V(x)
vorliegt? |
|  | Ganz
einfach: Wir müssen zu der aus den Bindungen im Kristall kommenden Energie E,
die wir bisher ausschließlich betrachtet haben, noch die elektrostatische Energie –
e · V(x) addieren, und erhalten jetzt eine ortsabhängige
Energie E(x). |
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Denn das elektrische Potential mal der betrachteten Ladung gibt
ja gerade die potentielle Energie dieser Ladung in dem zu V gehörenden
elektrischem Feld an. |
 | Den
Zusammenhang zwischen Ladungen r(x,y,z),
elektrischem Potential V(x,y,z) und elektrischem Feld E(x,y,z) gibt dabei
immer die Poisson-Gleichung |
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DV = | ¶2
V ¶x2 |
+ | ¶2V
¶y2 | + | ¶2V ¶
z2 | = – Ñ ·
E = – | r
ee0
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 | Aber das müssen wir hier gar nicht so genau wissen. Wir
betrachten einfach ein Stück Halbleiter, an dessem einen Ende (x = 0) das
elektrische Potential den Wert V(0) = – V0
hat, während das andere Ende (x = L) geerdet ist, d.h. V(L)
= 0. Die Maßeinheit ist natürlich Volt. |
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Was jetzt kommt ist wichtig. Also nochmal: Wir betrachten ein
homogenes Stück Material - z. B. einen zylindrischen Draht - mit irgendeiner Leitfähigkeit
s und damit einem Widerstand R. An einem Ende
ist er geerdet (d. h. die Spannung ist 0 V per Definition), an anderen Ende liegt die
Spannung U Volt an. Außerdem fließt noch ein Strom I
= U/R. |
|  | Spannung anlegen bedeutet: An einem Ende (z. B. dem negative Pol)
hat es mehr negative Ladungen als am anderen Ende. Im System gibt es räumliche Nettoladung. |
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Zwischen den beiden Enden fällt die Spannung ab. Das kann
sie bei der beschriebenen Anordnung nur gleichmäßig
tun - sie fällt linear von einem Ende zum andern
von U V auf 0 V. |
|  | Betrachten wir nicht die Spannung
oder das "Spannungspotential" U sondern die elektrostatische Energie
eU, die eben auch Potential heißt, haben wir exakt denselben Verauf, nur
auf einer eV Skala statt auf einer V Skala. |
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Das wenden wir jetzt auf ein homogenes Stück
Halbleiter mit konstantem Querschnitt an. |
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Es ergibt sich das folgende Banddiagramm, das wir erst mal zur
Kenntnis nehmen, und dann diskutieren. |
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 | Das
Bild zeigt eine Fülle von Einzelheiten, die wir jetzt im Detail diskutieren: |
|  | Im oberen Teil
ist perspektivisch das Material gezeigt - mit den elektrischen
Kontakten und dem Stromkreis. Man sollte niemals ein Banddiagramm
und eine Darstellung im Ortsraum verwechseln - auch
wenn auf einer hohen Abstraktionsebene beides nur noch ein Rechteck ist. |
|  | Eingezeichnet
ist ebenfalls, wie sich negativ und positiv geladene Teilchen bewegen werden. Wichtig dabei
ist, daß trotz unterschiedlicher Teilchenstromrichtung,
beide Ladungen dieselbe elektrische Stromrichtung ergeben. |
|  | Weiterhin
ist klar, daß bei konstanter Leitfähigkeit der Spannungsabfall im Material linear
erfolgt. Dies bedeutet, daß das lokale elektrische Potential eV(x) linear
von eV0 eVauf 0 eV abnimmt. |
| Damit kann man das Banddiagramm zeichnen: |
|  | Links
sind Valenz- und Leitungsband auf der Energieskala um |– e · V0|
angehoben; rechts ist alles beim alten. Dazwischen nimmt die Energieanhebung linear ab - wie
gezeichnet. Aufpassen! Das "-" Vorzeichen ist richtig, wenn
man die Energieachse nach unten legt (Nullpunkt oben, Energiewerte dann alle negativ) |
|  | Das
ist leicht zu verstehen, denn nach wie vor betrachten wir im Banddiagramm die gesamte Energie von Elektronen in den beiden Bändern (Im Valenzband
in Form von Löchern). Die Gesamtenergie erhält man immer durch Addition
der Beiträge, hier der "Kristallenergie",
d. h. der Energie, die die Elektronen auf ihren Zuständen im Kristall haben, und der
Energie des lokal vorliegenden elektrostatischen Potentials.
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Wir haben damit eine fundamentale
Sache eingeführt, die sogenannte Bandverbiegung.
So nennen wir es, wenn Leitungs- und Valenzband nicht exakt horizontal verlaufen. |
|  | Gleichzeitig
erkennen wir eine fundamental Regel: |
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Denn ein elektrisches Feld ist schlicht der Gradient
des elektrischen Potentials, und ohne Gradient im Potential gibt es keine Bandverbiegung. |
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Rein graphisch wird schon anschaulich was nun geschieht:
Die Elektronen im Leitungsband werden sich zur tiefsten Energie begeben - sie laufen in einem
Energiediagramm immer bergab. Da sie beweglich sind, wird
das auch geschehen. |
|  | Die Elektronen im Valenzband werden sich
auch zur tiefsten Energie begeben. Da aber nur ein kleiner Teil beweglich ist - die mit einem
Loch als Nachbar - laufen die Löcher entgegengesetzt,
immer den Energieberg hinauf. Das ist eingezeichnet. |
|  | Falls
viele Elektronen "unten" wären, gäbe es unten
einen Überschuß an negativer Ladung, oder, im Umkehrschluß, es gäbe
oben einen Überschuß an positiver Ladung. Zeichnen
wir nicht den Fluß der negativen Ladung nach unten ein, müssen wir den Löchern
jetzt eine positive (Elementar)ladung nach oben mitgeben.
Das ist eingezeichnet. |
 | Wir
sehen also auch im Banddiagramm, daß jetzt Ladungen fließen. Wir sehen es sogar
viel anschaulicher als im Ortsraum. Wo aber liegt nun die Fermienergie? Sie
ist nicht eingezeichnet !? |
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Das hat einen einfachen, aber sehr
wichtigen Grund: Es gibt im strengen Sinn keine Fermienergie
mehr - denn wir haben nicht mehr Gleichgewicht
. Mit Stromfluß haben wir Ungleichgewicht! |
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Denn Stromfluß bedeutet immer Ungleichgewicht oder Nicht-Gleichgewicht.
Es gibt zeitliche Änderungen von Systemparametern: Der Halbleiter wird warm, in der Batterie
ändert sich die chemische Zusammensetzung, usw. |
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Die Fermienergie war aber nur für Gleichgewicht
definiert; sie existiert nicht für Nicht-Gleichgewicht. |
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Das fassen wir mal zusammen |
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Bandverbiegung
bedeutet: - Leitungs- und Valenzband sind keine horizontale Linien mehr, sondern
"verbogen".
- Grund: Zusätzliches elektrisches Potential.
- Damit
gilt: Verbiegung = Anwesenheit elektrisches Feld E.
- Elektronen und
Löcher spüren im Feld E die Kaft qE.
- Damit:
Elektronen laufen in nicht-horizontal Bändern abwärts, Löcher aufwärts.
- Falls dann Netto strom fließt, ist der Halbleiter
nicht mehr im Gleichgewicht.
- Kein Gleichgewicht bedeutet: Fermieenergie ist nicht
mehr (streng) definiert.
- Gründe für Bandverbiegungen sind Nettoladungen
irgendwo im System.
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 | Ein letzter Punkt: Das Banddiagramm zeigt nicht,
was mit den Elektronen und Löchern geschieht, wenn sie bei ihrer Berg- und Talfahrt an
das Ende des Kristall gelangen. |
|  | Wir wissen aber, was geschehen muß: Die Spannungsquelle ist
eine Ladungspumpe, sie befördert
die Elektronen die bei x = L ankommen, durch den äußeren Stromkreis
wieder zurück nach x = 0. |
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Löcher allerdings, kann die Spannungsquelle nicht
durch einen Metalldraht pumpen. Sie wird deshalb bei x = 0 Elektronen ins Valenzband
geben, die mit den Löcher rekombinieren, und bei x = L diese Elektronen
herausnehmen, d.h. Löcher injizieren. Das mag hier noch ein bißchen seltsam erscheinen,
wir werden diese Prozesse aber bald besser verstehen. |
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Die Zeichnung zeigt die Ströme im Halbleiter und im Draht;
die Pfeile geben dabei die Bewegungsrichtung der Teilchen an, nicht die technische Stromrichtung.
Für Löcher sind beide Richtungen identisch, für Elektronen sind sie umgegekehrt. |
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 | Wir haben jetzt einen ersten Eindruck bekommen, wie man mit Banddiagrammen arbeiten
kann. Wer testen möchte, wieweit er das verstanden hat versucht mal, sich die folgende
Frage zu beantworten, bevor die Lösung angeklickt wird: |
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Was passiert im Banddiagramm,
wenn wir wie oben eine Spannung anlegen, aber die Kontaktelektroden mit einer "unendlich
dünnen" isolierenden Schicht überziehen? |
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Das bedeutet, wir haben zwar den Potentialunterschied zwischen
x = 0 und x = L, aber Stromfluß kann dank der Isolierschicht
nicht stattfinden. |
 | Die Antwort auf diese Frage findet sich in einem eigenen
Modul, den man unbedingt konsultieren sollte |
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© H. Föll (MaWi für ET&IT
- Script)