 |
Jetzt schauen wir uns mal das technisch wichtige dotierte
Silizium an. Wir haben eine bestimmte Menge der Si-Atome – so um 1018
cm–3 – durch substitutionelle Fremdatome
ersetzt; in diesem Falle nehmen wir Phosphor (P) oder Arsen (As). |
| | |
| |
|  | Wir
haben jetzt einen Kristall mit eingebauten atomaren
Fehlstellen in einer durch die Technik vorgegebenen Dichte NDot. |
| |  | An den Plätzen der Fremdatome (im Bild bei x1
und x2) müssen die Elektronenzustände
irgendwie geändert sein. Das kann in vielfältiger Weise geschehen, aber für
"gute" Dotieratome (d.h. nur für einige wenige der vielen prinzipiellen Möglichkeiten)
existiert jetzt ein Energieniveau dicht unterhalb der Leitungsbandkante
. Das ist ein Zustand, auf dem lokal ein Elektron "sitzen" kann. |
| |  |
Wir haben eine Dichte NDot an Dotieratomen vorgegeben und damit genau
diese Dichte an E-Niveaus im Bandgap dicht unterhalb der Leitungsbandkante eingeführt. |
| |  | Wir brauchen jetzt offensichtlich nicht mehr viel Energie, um ein
Elektron, das diese Dotierniveaus besetzt, ins Leitungsband zu heben. |
|
| |
 |
Die Fragen, die sich jetzt stellen, sind: |
| |
Perfektes "
dotiertes" Silizium | Frage |
Antwort | Frage
1: Wie groß ist bei Dotierung die Dichte neL(T) der Elektronen
im Leitungsband bei der Temperatur T? | n
eL(T) = Zahl an Plätzen (= Neff
) mal Wahrscheinlichkeit der Besetzung (immer in Boltzmann-Näherung)
neL(T) | » | Neff · exp[–(EL – EF
)/kBT] | | | |
neL(T)
| »
| NDot |
| Folgefrage 1:
Was ist der Unterschied zum undotierten Fall???? |
Erst mal scheinbar keiner – außer der
blauen Formel! | Folgefrage
2 und Antwort Wo liegt jetzt die Fermienergie
EF, und was bestimmt diese Lage? | In der Nähe des Dotierniveaus Immer noch die Elektroneutralität
Jetzt aber: Gleich viel neg. geladene Elektronen
im Leitungsband wie wie positiv
geladene Dotierionen. | Folgefrage 3: Wieviel Elektronen fehlen jetzt
im Valenzband, oder wie groß ist jetzt die Dichte n
hV(T) der "Löcher
" oder "holes" im Valenzband? |
Das ist nicht mehr ganz so klar, aber es gilt
immer: nh
V (T) | = | Neff · exp[–(EF –
EV )/kBT] | |
| |
Þ neL · nhV |
= | ni2 |
| |
| Þ nhV
| = |
ni2
/NDot |
| |
| |
|
|
1. Frage-und-Antwort-Runde
|
| |
 |
Mit den blauen Gleichungen
haben wir die Halbleiter schon fast erschlagen – und die sind ja eigentlich einfach.
Man kommt bloß nicht so ganz leicht auf diese Gleichungen. |
|
 |
Im folgenden gibt es deshalb ein Frage-Anwort-Spiel,
mit dem jede mal selbst versuchen kann, die Begriffe und Gleichungen oben sich zumindest der
Spur nach zu erarbeiten. |
 | 1. Frage:
Was ist eine intrinsische Ladungsträgerdichte in
Halbleitern? |
|  | Nun ja –
was eben intrinsisch , d.h. in einem bei
Raumtemperatur nur so rumliegenden (und perfekten) Halbleiterkristall an Ladungsträgern,
die elektrischen Strom leiten können, da ist. |
|  | Das sind nicht die Elektronen
im voll gefüllten Valenzband. Die mögen zwar
beweglich sein und im Kristall herumrennen, sie können aber "nichts tun" –
denn sie können auf elektrische Felder nicht reagieren, weil sie ihren Zustand nicht
ändern können. |
|  | Wir
haben nur die Elektronen im Leitungsband, d. h. den Anteil
der Valenzbandelektronen, die den Sprung über die Energielücke ins Leitungsband
geschafft haben. Wieviele das sind, wissen wir: Zahl der Plätze mal Fermiverteilung f(E;
EF,T). |
 | Die
Fragen, die sich jetzt stellen, sind: |
 | 1.
Folgefrage: Was ist Neff? Na ja – mal nachdenken. Die Zahl
oder Dichte n(E) von Fermionen bei der Energie E war |
| |
n(E) | = | Dichte
der Plätze mal Wahrscheinlichkeit der Besetzung
mal Energieintervall | |
| | | = |
D(E) · w(E ) · DE | | |
|  |
Die Gesamtdichte neL (T)
aller Elektronen im Leitungsband ist demnach |
| |
neL(T) |
= | ¥ ó õ EL |
D(E) · f(E; EF,T) dE
| | |
|  |
Das sieht unschön aus. Erstens kennen wir die Zustandsdichte D(E)
unseres nur so herumliegenden Halbleiters nicht, zweitens wäre das Integral selbst für
ein bekanntes D(E) wohl nicht so ganz leicht zu knacken. Also erinnern
wir uns daran, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl
ist; damit kann man das Ganze immer so schreiben: |
| |
neL
(T) | = | Neff · f(EL
; EF,T) | |
| |
| = | Neff
· exp[– (E L – EF)/kBT] |
| |
|  | Nach
kurzem Nachdenken wird klar, dass das Ganze nur dann eine gute Näherung ist, wenn die
Energiedifferenz zwischen Fermienergie und Leitungsband nicht zu klein ist (>> kB
T). Dann darf man automatisch auch die Boltzmannnäherung verwenden; im Umkehrschluss
wird eine effektive Zustandsdichte deshalb immer nur mit der Boltzmannnäherung
zusammen verwendet. |
|  |
Damit ist Neff definiert: man misst es einfach mal. Für Si
bekommt man z. B. Neff »
2,3 · 1019 cm–3. Wichtig ist zu verinnerlichen: |
| | Neff ist eine Material"konstante"
| |
 | 2. Folgefrage:
Im Valenzband fehlen jetzt Elektronen, d. h. es ist nicht mehr voll besetzt. Die Dichte nhV
(T) der im Valenzband fehlenden Elektronen, die wir ja "Löcher
" nennen wollen, ist identisch zur Gesamtzahl der Elektronen im Leitungsband, d.
h. nhV(T) = neL(T)
=: ni. Damit gibt es jetzt Elektronen im Valenzband, die einen freien
Platz als Nachbar haben und deswegen "was tun" können. Damit die Frage: Gibt
es jetzt Stromleitung auch Valenzband? Die Antwort ist klar: Ja!
Die Leitfähigkeit entspricht der eines Materials mit nhV
positiv geladenen Ladungsträgern; das schauen wir
uns noch genauer an. |
|  |
Die einfache Ladungsträgerdichte nhV oder ne
L nennen wir die intrinsische
Ladungsträgerdichte ni;
die Gesamtzahl der stromtragenden Ladungsträgern in perfekten (= intrisischen) Halbleitern
ist also 2ni. |
| |
ni ist eine Material"konstante"
| |
|  | Daß
sowohl Neff als auch ni Material"konstanten"
sind, also "nur in Anführungszeichen konstant", liegt daran, daß sie
jeweils merklich von der Temperatur abhängen; Beispielwerte für diese Temperaturabhängigkeit
im Fall von Silizium folgen im nächsten Unterabschnitt. |
 | 3. Folgefrage: Falls wir unterstellen, dass wir Neff
kennen, reduziert sich die ganze Rechnerei auf die Schlüsselfrage der Halbleitertechnologie:
|
| |
Wo liegt in einem gegeben Halbleiter die Fermienergie EF?
| |
|  | Für einen intrinsischen Halbleiter kann man sich das sofort und eindeutig
klarmachen: Die Wahrscheinlichkeit, dass im Leitungsband bei EL Elektronen
sitzen, ist durch den Zahlenwert von f(EL;
EF,T) gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei EV
im Valenzband keine Elektronen sitzen, muss exakt gleichgroß
sein, denn die dort fehlenden Elektronen sitzen jetzt ja bei EL.
Zeichnet man sich das mal qualitativ auf, erhält man so ein Bild: |
| | |
|
 |
Es ist klar: Die Fermienergie beim intrisischen Halbleiter liegt
genau in der Mitte der Bandlücke! Damit können wir die intrinsische Ladungsträgerdichte
(in Boltzmann-Näherung) hinschreiben: |
| |
ni(T) |
= | Neff ·
exp( – | EL –
EV 2kBT | ) | | |
|  |
EL – EV
= Eg gibt den Wert der Energielücke Eg
. Merke: |
| | Eg ist eine Materialkonstante
| |
 | Damit haben
wir die erste Tabelle oben abgearbeitet. Die zweite wird aber
etwas trickreicher |
| | |
| 2. Fragen-und-Antwort-Runde
|
| |
 |
Wir betrachten jetzt einen extrinsischen
(sagt man aber eher nicht) oder dotierten Halbleiter |
|  |
Dotieren heißt, "passende" Energieniveaus
in der Bandlücke zu erzeugen – durch Defekte ;
in der Praxis meist durch substitutionelle
Fremdatome. Sobald diese Fremdatome Teil des Kristall sind, "gehören"
diese Dotierniveaus dem Ensemble der Elektronen. Ob ein Elektron auf dem bei einem Fremdatom
vorhanden Energieniveau "sitzt" (und dann auch räumlich festsitzt) oder nicht,
regelt wieder die Fermiverteilung. |
 | 1.
Frage: Was passiert mit dem substitutionellen Fremdatom? |
|
 |
Dem Atom "als solchem" passiert bei niederen Temperaturen
erstmal nichts. Es bleibt räumlich sitzen wo immer es ist. Bei hohen Temperaturen diffundiert
es (per Leerstellen) durch den Kristall – das ist dann der Tod des Bauelementes. |
|  |
Sein Ladungszustand hängt aber davon ab, ob das durch das
Dotierungsatom (und am Ort des Dotierungsatoms angesiedelte) E-Niveau durch
ein Elektron besetzt ist oder nicht. Nehmen wir z. B. ein Phosphor-Atom. Es hat ein Elektron
mehr als ein Si-Atom; wenn es ein Si-Atom ersetzt, ist dort zunächst lokal ein Elektron mehr als bei Si, das dann auch nicht
für eine Bindung gebraucht wird. "Hüpft" dieses Elektron ins Leitungsband
(d.h. reißt sich von dem P-Atom los, was energetisch nur ein kleiner Sprung ist),
ist das Elektron jetzt frei beweglich und dann von all den anderen freien Elektronen nicht
mehr zu unterscheiden. Es kann jetzt, wie böse Mädchen, überall hin. Das Phosphoratom
ist nun aber positiv geladen, da sich eines seiner Elektronen verdünnisiert hat.
(Das macht es aber noch nicht zu einem Phosphor-Ion: Es
ist zwar positiv geladen, aber es ist weiterhin ortsfest – das Wort Ion
dagegen bedeutet "Wanderer". Allerdings ist dieser Sprachgebrauch trotzdem weit
verbreitet; diese Redeweise darf man getrost unter "Laborslang" verbuchen.) |
 |
2. Frage: Wie groß ist
bei Dotierung die Dichte neL(
T) der Elektronen im Leitungsband? |
|  | Die
Antwort ist immer dieselbe; |
| | ne
L(T) | = | ¥ ó õ
EL | D(E)
· f(E; EF,T) dE | » | Neff
· exp(– | EL –
EF kBT |
) | |
|
 |
Der einzige
Unterschied zum perfekten intrinsischen Kristall ist die Lage der
Fermienergie EF. Damit stellt sich die Zusatzfrage
: |
| |
Wo liegt in einem gegeben dotierten Halbleiter
die Fermienenergie EF? | |
|  |
Die Antwort erhält man wie
oben: Falls die Elektronen im Leitungsband alle von
den Dotieratomen kommen, muss gelten: Die Wahrscheinlichkeit, dass im Leitungsband bei E
L Elektronen sitzen, ist durch den Zahlenwert von f( E
L; EF,T) gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei
ED in der Bandlücke
keine Elektronen sitzen, muss exakt gleichgroß sein, denn die dort fehlenden
Elektronen sitzen jetzt ja bei EL. |
|
 |
Zeichnet man sich das mal qualitativ
auf, erhält man so ein Bild: |
| |
|
|  |
Die Fermienergie muss irgendwo
zwischen dem Dotierniveau und dem Leitungsband sitzen; gegenüber dem intrinsischen Fall
ist sie massiv "hoch"gerutscht. Wie das alles noch von der Dichte der Dotieratome
NDot, der effektiven Zustandsdichte Neff
und ggf. der Temperatur abhängt, ist uns derzeit noch egal. Wir halten nur fest: |
|  |
Falls die Temperatur nicht zu niedrig (oder zu hoch) ist, werden
praktisch alle Dotieratome ihr Elektron ans Leitungsband abgegeben haben, sonst ist aber noch
nicht viel passiert. Wir haben dann als sehr wichtige Gleichung: |
|
| |
 | 3.
Frage: Wie groß ist bei Dotierung die Dichte
nhV(T) der Löcher im Valenzband? |
|  |
Auch wenn's langsam langweilig wird, die Antwort ist immer dieselbe:
Zahl Plätze mal Wahrscheinlichkeit der Nicht besetzung: |
| | nhV(T ) | = | Neff · exp[–(EF
– EV)/kBT] | |
|
|  | Das müssen wir aber
gar nicht ausrechenen, denn dafür rechnen wir mal das Produkt n eL
· nhV, d. h. |
| | |
|
 |
Unbedingt selbst probieren! Wer das hinkriegt, hat die Halbleiterei
schon sehr weitgehend verstanden. |
 | Was bleibt? In guter Näherung die 2 Hauptgleichungen für die
Ladungsträgerdichte in Halbleitern: |
| |
neL( T) | = | NDot | | | | n
hV(T) |
= | ni
2(T) NDot
| | |
|
| |
© H. Föll (MaWi für ET&IT
- Script)