 | Die Vektorschreibweise der Bragg-Bedingung zeigt, daß auch die Wellenvektoren
k im reziproken Raum liegen. | |
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|  | Alle Wellenvektoren kBr,
die die Bragg-Bedingung erfüllen, liegen auf der Mittelhalbierenden eines reziproken
Gittervektors Þ | |
|  | Im
dreidimensionalen Fall haben wir Flächen als Mittelhalbierende. |
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Diese Flächen schneiden sich und bilden ein System von
ineinandergeschachtelten Polyedern, genannt Brillouin-Zonen.
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Das kleinstmögliche dieser Polyeder ist die erste Brillouin-Zone,
abgekürzt 1. BZ. | |
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Die elektronischen Wellenfunktionen mit einem solchen
Wellenvektor kBr sind stehende Wellen. | | |
|  | Aufgrund der zugehörigen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung
ergibt sich für die betreffenden Elektronen ein Zusatzbeitrag der potentiellen Energie. |
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Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, je nach
Lage der Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den Atomen (blaue Kurve;
Bereiche hohen Potentials) oder nahe bei den Atomen (rote Kurve; Bereiche niedrigen
Potentials) Þ | |
|  | Die
Energie für Wellenvektoren auf den Rändern der BZ nimmt daher zwei Werte an; wir haben eine Energieaufspaltung. |
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Die Energie als Funktion des Wellenvektors ist an
all den Stellen, an denen die Wellenvektoren auf den Rändern (und in der Nähe) einer
BZ liegen, durch die Aufspaltung modifiziert gegenüber dem parabelförmigen
Verlauf beim freien Elektronengas. | |
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|  | Für verschiedene Richtungen
im reziproken Gitter geschieht das an verschiedenen Stellen.
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Die orangefarbene Parabel im Bild rechts ist die Energie der
quasi-freien Elektronen, denn für diese gilt E(k) ~ k2. |
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An den Schnittpunkten der E(k)-Kurve
mit den Rändern der BZ haben wir zwei Energiewerte. |
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Bei realen Materialien kann sich genaue Verlauf der E(k
)-Kurve erheblich von der einfachen Parabel des freien Elektronengases unterscheiden
(und insbesondere weit mehr sein als eine bloße Aufspaltung). | |
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|  | Das Banddiagramm ist eine stark vereinfachte Darstellung der Gesamtheit der E(
k)-Kurven, daher steht an der x-Achse keine Achsenbezeichnung –
sie enthält keinerlei Information mehr. (Das in der Zeichnung oben angegebene "alle
k" ist rein symbolisch zu verstehen!) | | |
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An der Abszisse kann auch "x"
oder "z" oder <110> stehen, dann ist es eine Darstellung
der erlaubten Energien im Ortsraum – das Banddiagramm
sieht weiterhin genauso aus. (Davon werden wir später bei der Beschreibung einer Diode
oder anderer Bauelemente viel Gebrauch machen!) | |
|  | Aussagekräftiger
ist es, auf der Abszisse die Zustandsdichte D(E) aufzutragen. Hier ist
es an einem konkreten Beispiel (Germanium) gezeigt Þ |
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In der Bandlücke des idealen Kristalls ist die Zustandsdichte
per definitionem =0. (Das läßt sich aber durch wohldosierte Abweichungen
von der Idealität gezielt ändern, wie wir später noch sehen werden!) |
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 | Für den Übergang von Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband
(sowie für den umgekehrten Prozeß, der Übergang von Elektronen im Leitungsband
zu freien Plätzen im Valenzband), sogenannte Band-Band-Übergänge
, gelten der Energie- und der Impulserhaltungssatz . | | Die Bandstruktur der Elektronen in einem
Kristall, d. h. die Zustands- dichte D(E), bestimmt die elektronischen
Eigenschaften! | |
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In anderen Bereichen gibt es entweder keine Elektronen (z. B.
hohe Energie) oder sie haben keine freien Plätze in der Nachbarschaft (kleine Energiedifferenz),
auf die sich "ändern" könnten. | |
|  | Damit
folgt eine weitreichende Aussage über die Relevanz der Zustandsdichte Þ
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© H. Föll (MaWi für ET&IT
- Script)