 | Technisches Dotieren erfolgt in Si durch die Substitution eines Si-Atoms
entweder durch die fünfwertigen Elemente P
und As oder durch das dreiwertige Element B. |
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Einziger Zweck ist, eine genau definierte Dichte (per cm3) NDot
an Zuständen für Elektronen dicht an den Bandkanten
zu erzeugen. Das sieht schematisch dann so aus: |
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 | Wo immer ein Dotieratom ins Kristallgitter eingebaut ist, hat sich die Welt für
die Elektronen geändert. Die dort vorhandenen Zustände können sich von denen
im perfekten Kristall unterscheiden – warum auch nicht? |
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Insbesondere können, und bei den drei genannten Dotierelementen
werden, wohl definierte Energieniveaus in der Energielücke auftreten. Bei Dotierelementen
sind diese Energieneveaus per definitionem dicht an den
Bandkanten – der Abstand liegt rund und roh um die 50 meV. |
|  | Was Dotierelemente
können, können auch Defekte aller Art: Sie bewirken
Energieniveaus "aller Art" . Sind diese Niveaus
mehr in Bandmitte, spricht man von "deep levels", tiefen Niveaus, tiefen Störstellen – oder auch gleich von Dreck und nutzlosem
Material, denn diese Niveaus wirken verheerend (was wir aber jetzt noch nicht im Detail verstehen
können). |
 | Es ist qualitiativ
leicht einzusehen, dass fünfwertige Elemente wie P und As ein zusätzliches
Energieniveau dicht an der Leitungsbandkante einfügen, während das dreiwertige Element
B ein zusätzliches Niveau dicht oberhalb der Valenzbandkante einführt. |
|  | P
und As bringen 5 äußere Elektronen ein, können aber nur 4
davon in die Bindung mit den benachbarten Si-Atomen investieren. Das 5. Elektron,
sozusagen die Mitgift des P-Atoms für die Ehe mit dem Si-Kristall, ist
nur noch lose an sein P-Atom gebunden, ein bißchen Energie (ca. 50 meV)
reicht schon, um es ins Leitungsband des Si zu
heben. Dort ist es jetzt ein Leitungsbandelektron wie jedes andere auch, frei beweglich und
nicht mehr am P-Atom lokalisiert. Im Link
kann man sich das schematisch illustriert ansehen. |
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Das Phosphoratom ist nach Verlust seines 5. Elektrons
jetzt einfach positiv geladen (P+). Im Gegensatz zu seinem negativ geladenen
Elektron, das sich im Leitungsband herumtreibt, ist es aber
ortsfest und kann sich (bei RT) nicht bewegen. Daher ist es kein
Ion im eigentlichen Sinn; im allgemeinen Sprachgebrauch wird es aber trotzdem gelegemntlich
so genannt. |
|  | Das
B-Atom bringt nur 3 Elektronen ein; eine der vier Bindungen zu den Si-Nachbarn
kann deshalb nicht mit zwei Elektronen gefüllt werden. Anders ausgedrückt, das B-Atom
hat ein Loch als Mitgift für die Ehe mit dem Si-Kristall.
Diese Loch ist nur lose gebunden. Ein bißchen Energie (ca. 50 meV) reicht schon,
um es ins Valenzband des Si zu "heben".
Dort ist es jetzt ein Valenzbandloch wie jedes andere auch, frei beweglich und nicht mehr
am B-Atom lokalisiert. |
|  | Die Symmetrie ist offensichtlich. Was "wirklich" passiert,
ist natürlich, dass ein Elektron aus dem Valenzband auf das vom B-Atom eingebrachte
Dotierniveau dicht oberhalb der Valenzbandkante springt. Im Ausgangszustand (neutrales B-Atom)
ist dieses Niveau ja unbesetzt. |
|  | Das Loch ist jetzt im Valenzband und das Bor-Atom hat ein Elektron
abgekriegt – es ist jetzt also einfach negativ geladen, gewissermaßen ein "ortsfestes
Bor-Ion" B–. Im Link kann man sich das schematisch illustriert ansehen. |
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Im obigen Bild ist das alles schematisch so eingezeichnet. |
|  | Wir
haben ein zusätzliches Niveau an der Stelle, an der das Atom sitzt. Da uns das aber zu
viel Zeichenarbeit abverlangt, ziehen wir einfach einen ganzen Strich quer durch. Auf jeder
halbwegs vernünftigen Längenskala würden die Dotieratomniveaus sowieso dicht
an dicht sitzen. |
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Den Abstand zu den jeweiligen Bandkanten zeichnen wir aber unverhältnismäßig
groß – sonst können wir bei eindlicher Strichstärke keine
zwei Linien sehen. |
|  | Die effektiven Zustandsdichten kennen wir auch; sie sind (ausnahmsweise)
zusätzlich eingezeichnet. An den Bandkanten haben wir die effektiven Zustandsdichten des Siliziums (hier um die 2
· 1019 cm–3), die Dotieratome bringen pro Atom
genau einen Zustand ein, die effektive (oder auch exakte) Zustandsdichte ist also identisch
zu der von uns technisch bestimmten Dichte NDot
der Dotieratome. Deswegen kennen wir sie! |
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Im Beispiel des Bildes sind es 5 · 1017
cm–3 Donatoren (= P oder
As) und 1 · 1017 cm–3 Akzeptoren
(= B). |
 | Damit haben
wir zwei neue Fachwörter, die wir unbedingt kennen müssen: |
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Donatoren können ein Elektron
ins Leitungsband abgeben (ein Donator gibt was her).
Das zugehörige Energieniveau sitzt dicht unterhalb der Leitungsbandkante. Akzeptoren
können ein Loch ins Valenzband abgeben bzw. ein Elektron
aus dem Valenzband aufnehmen (ein Akzeptor nimmt etwas an). Das zugehörige Energieniveau
sitzt dicht oberhalb der Valenzbandkante | |
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Selbstredend gilt das hier am Beispiel des Si
Ausgeführte für alle Halbleiter. |
|  | Allerdings müssen
wir für jeden Halbleiter die geeigneten Dotierdefekte oder Dotieratome finden. Das ist
nicht immer leicht oder überhaupt möglich. Falls wir geeignete Defekte haben, müssen
wir immer noch Mittel und Wege finden, um die richtigen Mengen an die richtigen Stellen zu
bringen. |
|  | Dotieren
ist der Dreh- und Angelpunkt der Halbleitertechnologie
, aber: it ain't easy, man! |
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Wir haben nur noch eine Frage: |
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Wieviele Plätze der Dotierniveaus sind jetzt eigentlich
mit Elektronen (oder Löchern) besetzt? Und wie wirkt sich das auf die Besetzung der
Plätze im Valenz- und Leitungsband aus? | |
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In andern Worten: Wir wollen wissen, wo genau die
Fermienergie jetzt liegt. |
 | Warum das so wichtig ist, machen wir uns an einem Stück Silizium (mit nahezu
perfekter Materialqualität) klar, aus dem man eine integrierte Schaltung, einen Chip,
machen kann. Wir wissen bereits: |
|  | Die Bandlücke EG = 1,12 eV
ist eine Materialkonstante. |
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Die Zustandsdichtefunktion D(E) oder die
daraus ableitbare effektive Zustandsdichte Neff ist eine Materialkonstante. |
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Die intrinsische
Ladungsträgerdichte ni = Neff ·
exp[–EG/(2kBT)] im Valenz- und Leitungsband
ist eine Materialkonstante. |
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Wir müssen aber technisch irgendwas mit dem
Silizium tun, damit ein IC daraus wird, wir müssen seine Eigenschaften (lokal)
ändern. Die drei oben genannten Parameter sind aber unabänderliche Konstanten –
was bleibt? |
 | Es bleiben
2 Möglichkeiten: |
| | 1. Wir dotieren
den Halbleiter gezielt und ändern dadurch die Fermienergie
EF so, wie wir das wollen. 2. Wir verdrecken den Halbleiter unabsichtlich
und ändern die Fermienergie EF und
die Minoritätsladungsträgerlebensdauer
t irgendwie. | |
|  |
Aha! Noch'n Parameter, der bisher nicht vorkam – die Minoritätsladungsträgerlebensdauer. Wenige Sprachen außer
der Deutschen können so ein schönes Wort bilden. Wir werden in Kürze lernen,
was es bedeutet. |
|  | Das
war's dann aber. Es bleibt bei diesen zwei technisch manipulierbaren Parametern; es wird auch
sonst kein neuer mehr kommen. |
 | Die Fermienergie ist spätestens jetzt der zentrale Begriff der Halbleiterei.
Auch wenn sie zunächst unanschaulich und abstrakt erscheint, bleibt keine Wahl: man muss
die Fermienergie in Halbleitern einfach verinnerlichen! |
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| Lage der Fermienergie in dotierten Hableitern und Ladungsträgerdichte
in den Bändern |
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 | Wir können die Lage der Fermienergie halbwegs richtig ohne
Rechnen und nur durch Nachdenken herausfinden. |
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Dazu betrachte wir zunächst ein Stück
Si bei » 0 K, das nur
Donatoren in einer Dichte ND enthält, die ungefähr
der effektiven Zustandsdichte des Leitungsbands von » 4
· 1018 cm–3 entspricht. |
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Das sieht dann in Anlehnung an das Bild oben so aus: |
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| Bei T »
0 K sitzen alle Elektronen bei ihren Atomen – das Valenzband ist voll, das Leitungsband
ist leer, und alle Dotieratome haben ihr 5. Elektron auf dem Niveau dicht unterhalb
des Leitungsbandes sitzen. |
|  | Wir erhöhen jetzt die Temperatur ein kleines bißchen
– gerade so weit, dass einige wenige Elektronen des Donatorniveaus ins Leitungsband
wechseln können, aber Elektronen aus dem Valenzband das noch nicht schaffen. Im Bild
ist das für ein Elektron gezeigt. Wir haben jetzt
1 bzw. ein bißchen allgemeiner nL Elektronen im Leitungsband
und n L = ND+ unbesetzte
Plätze auf dem Donatorniveau und damit ND+ positiv
geladene Donatoren – und immer noch ein volles Valenzband. |
|  |
Wir haben auch – wie immer – für die jeweiligen
Dichten die Beziehung nL = Neff · f(EL
) und ND+ = ND · {1 – f(E
D)}. |
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 | Das bedeutet, dass die beiden roten "Zwickel" im obigen Bild (rechts)
ungefähr gleichgroß sind – und damit muss
die Fermienergie ungefähr in der Mitte zwischen Leitungsbandkante und Donatorniveau liegen!
Für das folgende nehmen wir mal an, dass sie genau in der Mitte
liegt. |
 | Damit können wir für tiefe Temperaturen, bei denen noch kaum Elektronen
aus dem Valenzband es ins Leitungsband schaffen, für die Ladungsträgerdichte im
Leitungsband schreiben: |
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n L(Dot) | » N
D · exp ( – | EL
– ED 2kB T | )
| | |
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Wie groß ist jetzt die Dichte nV
der Löcher im Valenzband? Nach dem, wie wir uns das überlegt haben,
gleich null. Aber halt mal – wir hatten dafür doch schon eine völlig allgemeine Gleichung namens Massenwirkungsgesetz
: |
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Durch Dotieren haben wir nL jetzt viel
größer gemacht als im intrinsischen Fall. Damit wird nV
jetzt viel kleiner – das ist genau das, was die Formel sagt. |
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Zeit für einen neuen Eintrag im Halbleiterwörterbuch:
Falls wir Halbleiter dotieren, ist die Dichte der Elektronen im Leitungsband und die der Löcher
im Valenzband nicht mehr gleich groß, sondern (sehr) verschieden. Wir definieren: |
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1. Wir nennen alle Halbleiter, die mehr
Elektronen im Leitungsband als Löcher im Valenzband haben "n-dotiert " oder
n-leitend, bei einem bestimmten Material (hier: Silzium) auch einfach n-Si,
da negative bewegliche Ladungen überwiegen. |
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Den umgekehrten Fall (mehr Löcher als Elektronen) nennen wir "p-dotiert" oder p-leitend,
bei einem bestimmten Material (hier: Silzium) auch einfach p-Si, da
positive bewegliche Ladungen überwiegen. |
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Achtung: Eine n- oder p-Dotierung bedeutet nicht
, daß ein Material als Ganzes negativ oder positiv geladen ist!! |
|  | Achtung:
Es kommt hier auf die korrekte Groß-/Kleinschreibung an, denn "p-dotiert"
bzw. "p-Dotierung" bedeutet etwas anderes als "P-dotiert" bzw. "P-Dotierung"!
Letzteres ist "Dotierung mit P = Phosphor", und im Silizium ist das ein Fall von
n-Dotierung! |
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2. Wir nennen diejenigen Ladungsträger, die die Mehrheit haben, die Majoritätsladungsträger
oder kurz Majoritäten . Die anderen
sind dann die Minoritätsladungsträger
oder kurz Minoritäten. |
|  | in Kurzform für
Silizium |
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| Donatoren: P und As Þ
n-Si Þ Majoritäten
sind Elektronen im Leitungsband. Minoritäten sind Löcher im Valenzband.
Akzeptor: B Þ p-Si
Þ Majoritäten sind Löcher
im Valenzband. Minoritäten sind Elektronen im Leitungsband. |
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 | Jetzt kommen
die Fragen: |
 | Frage 1.
Wie lange gilt denn die oben gemachte Näherung, dass nur Elektronen vom Donatorniveau
es ins Leitungsband schaffen? Wenn man die Temperatur immer mehr erhöht, werden irgendwann
ja auch mal nennenswerte Mengen an Elektronen vom Valenzband "hochgeschickt", die
Konzentration ist dann höher als berechnet. |
|
 |
Dieselbe Frage, nur anders formuliert: Wie ändert sich
die Lage der Fermienergie mit der Temperatur? Denn woher auch immer die Elektronen im Leitungsband
kommen, es gilt n L = Neff · exp[–(EL
– E F )/kBT]. Soll die Konzentration
nL größer werden als mit der Näherung von oben berechnet, muss die Fermienergie ...? |
|  |
Zeit für eine
Übung. (Hinweis: Solange die Fermienergie oberhalb des Donatorniveaus liegt, sind
noch nicht alle Donatoratome umgeladen worden, d. h. noch nicht alle Donatorelektronen ans
Leitungsband abgegeben worden.) |
|  | Wir nehmen gleich noch mit, dass die Beantwortung der Fermienergiefrage
für alle Dotierungen und alle
Temperaturen usw. die Frage nach der Ladungsträgerkonzentration beantwortet. |
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Frage 2. Wie funktioniert p-Dotierung?
|
|  | Die
Antwort ergibt sich aus der nächsten schnellen
Übung. |
 | Um
eine lange Geschichte kurz zu machen, hier die Antwort auf Frage 1: |
| |
 |  Temperaturabhängigkeit der Fermienergie für
Donatoren (Hinweis: Gemeint sind zwei unterschiedliche Donatordichten, ND,1
und ND,2 > ND,1.) | 
Temperaturabhängigkeit der Fermienergie für Akzeptoren (Die Beschriftung
muß natürlich NA1 und NA2
> NA1 lauten, analog zu den Donatoren und mit der gleichen
Bedeutung.) | |
 | Die linke Graphik ist extrem wichtig. Deshalb erarbeiten wir sie uns in einfacher
(und ungefährer) Weise in einer Übungsaufgabe: |
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| |
 | Die rechte
Graphik zeigt, was die Fermienergie als Funktion der Temperatur so treibt. Es ist nicht so
schwer zu verstehen, leider kann man das nicht analytisch rechnen. Wie's geht, ist für
Interessenten in einem eigenen Modul
gezeigt. |
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 | Wir nehmen einfach nur so zur Kenntnis, dass in Si die Majoritäts
ladungsträgerdichte in einem vernünftigen Temperaturbereich in hinreichend guter
Näherung schlicht identisch ist zur Dotierstoffkonzentration! |
|  |
Warum? Weil beim Silizium
es glücklicherweise gerade so läuft, dass um die Raumtemperatur herum die Donatoren
ihre Elektronen fast zu 100 % schon ins Leitungsband geschickt haben, aus dem Valenzband
aber noch nicht viel "hochkommt". Das passiert erst bei T > 100 0C
. In Halbleitern mit anderen Energielücken ist das anders! |
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Dies bedeutet, dass im interessanten Temperaturbereich die Ladungsträgerdichte
sowohl halbwegs konstant ist als auch durch Dotieren genau eingestellt werden kann –
und das sind genau die Anforderungen, die die Halbleitechnik stellen muss!
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Für uns bedeutet das: Wir
benutzen ab sofort nur noch zwei extrem simple und extrem
wichtige Gleichungen für die Ladungsträgerdichte – wie
schon mal angeführt: |
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nMaj | = |
N Dot | |
| |
nMin(T)
| = | ni2(T)
NDot |
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 | Jetzt fehlt uns nur noch eine wichtige Grundgleichung,
die wir uns im nächsten Unterkapitel verschaffen werden. |
| | |
© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)