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Das Ohmsche Gesetz
ist nur sinnvoll für spezifische Größen: |
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|  | j = Stromdichte
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E = Feldstärke
. | |
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Wesentliche Materialkonstante ist: Leitfähigkeit
s oder spez. Widerstand
r. | |
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Typische Werte sind wichtig! | | r (Metall) |
» | 1 µ
Wcm | | | |
r (Halbleiter) | » |
1 Wcm | | |
| r (Isolator) | » | 1 GWcm |
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Man muss mit den ca. 1 µWcm
guter reiner Metalle (Ag, Cu) leben, man kann sie immer nur verschlechtern (Defekte
, Legieren, ...), aber nie besser machen. | |
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Elektrische Stromdichte ist ein
Nettostrom geladener Teilchen, gegeben durch Zahl der Ladungen = Teilchen, die
pro Sekunde mit einer mittleren Nettogeschwindigkeit v
D durch einen cm2 fließen. | |
s
| := | q
· n · vD E | = |
constant | | | |
| | vD
E | = | m = constant |
(Beweglichkeit) | | |
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Das läßt sich immer so schreiben
Þ | |
|  | Die Driftgeschwindigkeit
vD, verursacht durch das elektrische Feld, ist aber extrem klein
gegenüber der mittleren thermischen Geschwindigkeit vtherm |
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Für die Leitfähigkeit ergibt sich sofort Þ | |
|  | Damit
ist ein neuer, sehr wichtiger Materialparameter, die Beweglichkeit
m definiert. | |
|  | Das
Ohmsche Gesetz ist nun hergeleitet, in der "Materialform" schreibt es sich Þ | |
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Die Konzentrationen nMet
der Ladungsträger in Metallen nMet und Isolatoren nIso
sind von der Größenordnung her bekannt: Ungefähr Dichte Atome bzw um Null. |
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Es bleibt, die Beweglichkeit m zu bestimmen | |
|  | Bei Halbleitern ist nHalb noch nicht klar,
hier brauchen wir nHalb und mHalb. | |
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 | Eine
relativ simple Betrachtung des Herumwuselns von Elektronen in Kristallen ergibt folgende Beziehungen: |
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|  | Stöße
zwischen Elektronen und den den Haupstoßpartner "Phononen" = Träger der
thermischen Energie = anderes Wort für (quantisierte) Gitterschwingungen und Kristallgitterdefekten
(Fremdatomen, Korngrenzen, Versetzungen, Ausscheidungen, ...) sorgen für eine im Mittel
konstante Driftgeschwindigkeit. | |
|  | Charakteristische
Parameter dazu sind die (mittlere) Stoßzeit t und die mittlere freie Weglänge
l = vt. | |
|  | Die
Beweglichkeit ist dann direkt gegeben (d.h. proportional) zu l = vt
oder t. (Formel muss man nicht wissen). | |
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 | Die Temperatur bestimmt klassisch sowohl v
(über ½mv2 = 3/2 kBT) als auch (über Stöße
mit "Phononen") zum Teil die Beweglichkeit. | |
Der Gleichverteilungssatz
gilt nicht für Fermionen! |
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|  | Für
eine gegebene Elektronenkonzentration (z. B. typisches Metall) und eine gemessene Leitfähigkeit
kann man damit alle Größem ausrechnen, aber Þ |
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Elektronen können nicht
mit beliebigen Geschwindigkeiten = Energie = Zuständen existieren; sie können z.
B. bei T = 0 K nicht alle bewegungslos sein. | |
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Trotzdem behalten alle obigen Formeln außer ½mv
2 = 3/2 kBT auch in der nachfolgenden "richtigen" Betrachung
ihre Bedeutung – wir müssen nur die Geschwindigkeit richtig bestimmen. | |
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Als Fermionen unterliegen die Elektronen der Fermiverteilung,
und sie sind nicht völlig frei in der Wahl ihres Energiezustands, denn in einem kristallinen
Festkörper sind sie quantenmechanisch als Elektronenwellen
zu beschreiben. | |
Nur Elektronen im Aufweichungsbereich der Fermiverteilung sind "handlungsfähig"!
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Die Bandstruktur der Elektronen in einem Kristall bestimmt die elektronischen Eigenschaften!
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|  | Aus der Fermiverteilung folgt eine fundamentale und
weitreichende Eigenschaft der Elektronen: Þ | |
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Aus der quantenmechanischen Beschreibung als Elektronenwellen
resultiert eine Bandstruktur E(k),
welche den Zusammenhang zwischen der Energie E eines Elektrons und seinem Wellenvektor
k angibt. Dabei kann es bestimmte Energiebereiche geben, zu denen kein einziger
Wellenvektor paßt – wir haben es mit einer Bandlücke
zu tun. Es gilt: Þ | |
|  | Die Bandstruktur E(k) kann auf die
Zustandsdichte D(E) umgerechnet werden; Näheres dazu
weiter unten. Die Bandlücken sind die Energiebereiche, in denen die Zustandsdichte gleich
null ist. | |
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Wegen der Kompliziertheit der vollständigen
Bandstruktur geht man zu einer stark vereinfachten Darstellung der Energien von Kristallelektronen
über: Es wird nur noch betrachtet, welche Energiewerte erlaubt und welche verboten sind
– und das ganz und gar unabhängig von der Richtung im reziproken
Raum der k-Vektoren. Das Ergebnis ist dann ein Banddiagramm
: | |
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 | Die
allgemeinste Bandstruktur hat als bei großen Energien ein volles oder teilgefülltes
Valenzband V, getrennt durch eine
Energielücke EG vom (fast) leeren
Leitungsband L (oder englisch C). | | |
|  | Bänder oder Zustände unterhalb des Valenzbandes
sind per definitionem immer voll besetzt und damit "tot" – nichts kann passieren. |
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Bänder oder Zustände oberhalb des Leitungsbandes enthalten
keine Elektronen und sind damit "tot" – nichts kann passieren | |
|  | Zwei Bänder genügen, mit der weiteren Abstraktion, daß
EG = 0 eV erlaubt ist. | |
|  | Wo
immer dieElektronen sich befinden – nur in der Aufweichungszone um die Fermienenergie
können sie "was tun". | |
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 | Die Bandstruktur bestimmt zunächst die Leitfähigkeit. Þ
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|  | Isolatoren: Große Bandlücke (EG
³ 2,5 eV. Valenzband komplttt voll Leitungsband komplett
leer. es gibt keineLadungsträger, die "was tun" könnten. | |
|  | Leiter: (= Metalle). Bandlücke
EG £ 0,5 eV, insbesondere aber =
0 eV, oder Valenzband nicht voll gefüllt. Es gibt viele Elektronen an der "Fermikante",
die beweglich sind (Bewegung = Zustand ändern = anderen Platz besetzen, der dazu frei
sein muß). | |
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Halbleiter: Bandlücke
0,5 eV £ EG £
2,5 eV. Bei endlicher Temperatur reicht die thermische Energie kBT,
um hinreichend viele Elektronen ins Leitungsband zu werfen. Im Valenzband bleiben bewegliche
pos. geladenen Löcher zurück. | |
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Zugehörige typische spezifische Widerstandswerte
Þ | |
rAg = 1,63 · 10– 6 Wcm = 1,63 µWcm | rHL » 1 Wcm (»1000
– 0,001) Wcm | rIso ³
109 Wcm = 1 GWcm
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|  | rMet ist nicht "einstellbar".
Defekte oder legieren machen r immer nur größer.
rAg ist bei RT durch nichts zu unterbieten.
Großes Problem für ET&IT! | |
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rHL ist in weiten Grenzen (mindestens 4
Größenordnungen) einstellbar durch Dotieren). |
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© H. Föll (MaWi für ET&IT
- Script)