Übung 2-3

Tunneleffekt
  Man betrachte ein Teilchen mit der Energie E<E0, das sich in dem in Bild 1 dargestellten Potential (Potentialbarriere) von links kommend bewegt.
 



Dieses Potential ist definiert durch: E=0 in Gebiet (I) E0 in Gebiet (II) 0 in Gebiet (III)
a)Wie verhält sich ein klassisches Teilchen in diesem Potential?
         
    Es soll nun hergeleitet werden, wie sich das Teilchen verhält, wenn man es quantenmechanisch beschreibt. Wie man bereits bei der Potentialstufe gesehen hat, sind Teilchen in der Quantenmechanik in der Lage, etwas in klassisch verbotene Bereiche einzudringen. Daher muß man damit rechnen, daß das Teilchen auch in das Gebiet hinter der Barriere dringen kann.    
         
b) Wie lautet die Schrödinger-Gleichung eines Teilchens in Gebiet (I)?    
c) Man zeige, daß ψ1x= Ae+ikx+B e-ikx eine Lösung der Schrödinger-Gleichung in Gebiet (I) ist. Dabei gilt für die Wellenzahl k: k=2mE hquer .    
d) Die Schrödinger-Gleichung in Gebiet (II) lautet: d2ψ xdx2+ 2mhquer2 E-E 0ψ x=0 . Eine allgemeine Lösung dieser Gleichung ist: ψ2x =Ce -κx+De +κx .Welchen Wert nimmt die Wellenzahl κin diesem Gebiet an?    
e) Die Lösung der Schrödinger-Gleichung in Gebiet (III) lautet: ψ3x =Fe +ikx mit der Wellenzahl k=2mE hquer . Warum macht eine Lösung der Form ψ3x= Fe+ikx+G e-ikx physikalisch keinen Sinn?    
f) Um den Zusammenhang der Konstanten A, B, C, D und F zu ermitteln muß man welche Bedingungen verwenden?    
 
Für den hier betrachteten Fall eines von links einlaufenden Teilchens kann man folgenden Zusammenhang zwischen den Konstanten A, B und F ermitteln: A=F cosh 2κ a +i δ2sinh2κ a e2ika und B=-Fi η 2sinh2κ a . Dabei gilt: δ=κ k-k κ und η=κ k+k κ .
Die Durchlässigkeit der Potentialbarriere wird definiert als T=|F|2 |A|2 .
     
g) Berechnen Sie T.    
    Lösung

HTML-Version von: Helmut Föll, erstellt am 24.11.97


zu_zu.gif 2.1.3 Schrödingergleichung und Wasserstoffatom

zu_zu.gif Lösung Übung 2-3

zu_zu.gifLösung Übung 2-4